Не выполняя построения определите пересекаются ли парабола y=1/4x^2 и прямая y=5x-16.Если точки пересечения...

Чтобы определить, пересекаются ли парабола ( y = \frac{1}{4}x^2 ) и прямая ( y = 5x - 16 ), нужно решить систему уравнений:

1. ( y = \frac{1}{4}x^2 )
2. ( y = 5x - 16 )

Подставим выражение для ( y ) из второго уравнения в первое:

[ \frac{1}{4}x^2 = 5x - 16 ]

Перепишем уравнение в стандартной форме квадратного уравнения:

[ \frac{1}{4}x^2 - 5x + 16 = 0 ]

Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

[ x^2 - 20x + 64 = 0 ]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем дискриминант ( D ), который определяется формулой:

[ D = b^2 - 4ac ]

где ( a = 1 ), ( b = -20 ), ( c = 64 ). Подставим и найдем дискриминант:

[ D = (-20)^2 - 4 \times 1 \times 64 = 400 - 256 = 144 ]

Так как дискриминант положительный (( D = 144 )), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их, используя формулы корней квадратного уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2} ]

[ x_1 = \frac{20 + 12}{2} = 16 ] [ x_2 = \frac{20 - 12}{2} = 4 ]

Теперь, когда мы нашли ( x_1 ) и ( x_2 ), подставим оба значения в любое из исходных уравнений, чтобы найти соответствующие значения ( y ). Используем уравнение прямой ( y = 5x - 16 ) для этого:

[ y_1 = 5 \times 16 - 16 = 80 - 16 = 64 ] [ y_2 = 5 \times 4 - 16 = 20 - 16 = 4 ]

Итак, точки пересечения параболы и прямой имеют координаты ( (16, 64) ) и ( (4, 4) ).

Парабола y=1/4x^2 и прямая y=5x-16 пересекаются. Точки пересечения: (4, 4) и (-4, -4).

Для определения пересечения параболы и прямой, необходимо найти их общие точки. Для этого подставим уравнение прямой y=5x-16 в уравнение параболы y=1/4x^2:

1/4x^2 = 5x - 16

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

x^2 = 20x - 64

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

x^2 - 20x + 64 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения, чтобы найти точки пересечения параболы и прямой. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a=1, b=-20, c=64

D = (-20)^2 - 4164 D = 400 - 256 D = 144

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения два действительных корня. Найдем их:

x1 = (20 + √144) / 2 = (20 + 12) / 2 = 16 x2 = (20 - √144) / 2 = (20 - 12) / 2 = 4

Теперь найдем соответствующие значения y, подставив найденные x обратно в уравнение параболы или прямой:

Для x=16: y = 1/4 16^2 = 64 y = 5 16 - 16 = 64

Для x=4: y = 1/4 4^2 = 4 y = 5 4 - 16 = 4

Таким образом, парабола y=1/4x^2 и прямая y=5x-16 пересекаются в точках (16, 64) и (4, 4).