Напишите уравнение касательной к графику функции у = х^2 в его точке с абсциссой: х0=-1

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( y = x^2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = -1 ), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти координаты точки касания. Для этого подставим значение ( x_0 = -1 ) в уравнение функции: [ y_0 = (-1)^2 = 1. ] Таким образом, точка касания имеет координаты ( (-1, 1) ).

2. Найти производную функции. Производная функции ( y = x^2 ) определяет угловой коэффициент касательной. Найдем производную: [ y' = 2x. ] Теперь подставим ( x_0 = -1 ) в производную, чтобы найти угловой коэффициент в точке касания: [ y'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2. ]

3. Записать уравнение касательной. Уравнение касательной можно записать в точечной форме: [ y - y_0 = m(x - x_0), ] где ( m ) — угловой коэффициент, а ( (x_0, y_0) ) — координаты точки касания. В нашем случае:

   • ( m = -2 ),
   • ( (x_0, y_0) = (-1, 1) ).

   Подставим эти значения в уравнение: [ y - 1 = -2(x - (-1)). ] Упростим это уравнение: [ y - 1 = -2(x + 1). ] Раскроем скобки: [ y - 1 = -2x - 2. ] Переносим -1 на правую сторону: [ y = -2x - 1. ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( y = x^2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = -1 ) имеет вид: [ y = -2x - 1. ]

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( y = x^2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = -1 ), сначала найдем значение функции и производную в этой точке.

1. Вычисляем значение функции: [ y_0 = (-1)^2 = 1 ]

2. Находим производную функции: [ y' = 2x ] В точке ( x_0 = -1 ): [ y'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2 ]

3. У нас есть точка ( (-1, 1) ) и наклон касательной ( -2 ). Уравнение касательной можно записать в виде: [ y - y_0 = m(x - x_0) ] где ( m ) — наклон.

Подставляем значения: [ y - 1 = -2(x + 1) ]

Упрощаем: [ y - 1 = -2x - 2 ] [ y = -2x - 1 ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( y = x^2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = -1 ) — это ( y = -2x - 1 ).

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( y = x^2 ) в заданной точке с абсциссой ( x_0 = -1 ), нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем последовательность действий подробно:

1. Формула уравнения прямой:

Уравнение касательной к графику функции можно записать в следующем виде: [ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0), ] где:

• ( f'(x_0) ) — производная функции в точке ( x_0 ), которая дает угловой коэффициент касательной;
• ( f(x_0) ) — значение функции в точке ( x_0 ), то есть точка касания.

2. Найдем значение функции в точке ( x_0 = -1 ):

Функция задана, как ( y = x^2 ). Подставим ( x_0 = -1 ) в функцию: [ f(x_0) = (-1)^2 = 1. ] Таким образом, точка касания имеет координаты ( (-1, 1) ).

3. Найдем производную функции:

Найдем производную функции ( y = x^2 ): [ f'(x) = 2x. ] Теперь вычислим значение производной в точке ( x_0 = -1 ): [ f'(-1) = 2(-1) = -2. ] Таким образом, угловой коэффициент касательной равен ( -2 ).

4. Подставим значения в уравнение касательной:

Теперь мы можем записать уравнение касательной, подставив ( f'(x_0) = -2 ), ( x_0 = -1 ) и ( f(x_0) = 1 ) в общую формулу: [ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0). ] Подставим все значения: [ y = -2(x - (-1)) + 1. ]

5. Упростим уравнение:

Раскроем скобки: [ y = -2(x + 1) + 1, ] [ y = -2x - 2 + 1, ] [ y = -2x - 1. ]

Ответ:

Уравнение касательной к графику функции ( y = x^2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = -1 ) имеет вид: [ y = -2x - 1. ]