Найти все такие натуральные n, при которых выражение (5n+4):(n+3) является натуральным числом

Для того чтобы выражение (5n+4):(n+3) было натуральным числом, необходимо, чтобы оно делилось без остатка. Разделим (5n+4) на (n+3) с помощью деления в столбик:

5n + 4 n+3|______ 5n + 15

   -11

Итак, при делении (5n+4) на (n+3) получаем остаток -11. Чтобы выражение было натуральным числом, остаток должен быть равен 0. Следовательно, уравнение 5n + 4 = 0 не имеет натуральных решений. Таким образом, нет натуральных чисел n, при которых выражение (5n+4):(n+3) является натуральным числом.

Чтобы найти все натуральные числа ( n ), при которых выражение (\frac{5n + 4}{n + 3}) является натуральным числом, необходимо решить следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:

   [ \frac{5n + 4}{n + 3} = k, ]

   где ( k ) — натуральное число.

2. Рассмотрим уравнение:

   [ 5n + 4 = k(n + 3). ]

3. Раскроем скобки и упростим уравнение:

   [ 5n + 4 = kn + 3k. ]

4. Перенесём все члены, содержащие ( n ), в одну сторону уравнения:

   [ 5n - kn = 3k - 4. ]

5. Вынесем ( n ) за скобки:

   [ n(5 - k) = 3k - 4. ]

6. Рассмотрим ( n ) как натуральное число. Чтобы ( n ) было натуральным, ( 5 - k ) должно быть делителем ( 3k - 4 ).

7. Рассмотрим возможные значения ( k ). Поскольку ( k ) — натуральное число, рассмотрим различные ( k ):

   • Если ( k = 1 ): [ n(5 - 1) = 3 \cdot 1 - 4 \implies 4n = -1. ] Решения в натуральных числах нет.

   • Если ( k = 2 ): [ n(5 - 2) = 3 \cdot 2 - 4 \implies 3n = 2 \implies n = \frac{2}{3}. ] Решения в натуральных числах нет.

   • Если ( k = 3 ): [ n(5 - 3) = 3 \cdot 3 - 4 \implies 2n = 5 \implies n = \frac{5}{2}. ] Решения в натуральных числах нет.

   • Если ( k = 4 ): [ n(5 - 4) = 3 \cdot 4 - 4 \implies n = 8. ] Это решение является натуральным числом.

   • Если ( k \geq 5 ), то ( 5 - k ) будет отрицательным или нулевым, что нарушает условие, что ( n ) натуральное число.

Таким образом, единственное значение ( k ), при котором ( n ) является натуральным числом, это ( k = 4 ) и соответствующее значение ( n = 8 ).

Ответ: ( n = 8 ).