Найти все такие натуральные n, при которых выражение $5n+4$:$n+3$ является натуральным числом

Для того чтобы выражение $5n+4$:$n+3$ было натуральным числом, необходимо, чтобы оно делилось без остатка. Разделим $5n+4$ на $n+3$ с помощью деления в столбик:

5n + 4 n+3|______ 5n + 15

   -11

Итак, при делении $5n+4$ на $n+3$ получаем остаток -11. Чтобы выражение было натуральным числом, остаток должен быть равен 0. Следовательно, уравнение 5n + 4 = 0 не имеет натуральных решений. Таким образом, нет натуральных чисел n, при которых выражение $5n+4$:$n+3$ является натуральным числом.

Чтобы найти все натуральные числа $n$, при которых выражение $\frac{5n+4}{n+3}$ является натуральным числом, необходимо решить следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:

   $\frac{5n+4}{n+3}=k,$

   где $k$ — натуральное число.

2. Рассмотрим уравнение:

   $5n+4=k(n+3).$

3. Раскроем скобки и упростим уравнение:

   $5n+4=kn+3k.$

4. Перенесём все члены, содержащие $n$, в одну сторону уравнения:

   $5n-kn=3k-4.$

5. Вынесем $n$ за скобки:

   $n(5-k)=3k-4.$

6. Рассмотрим $n$ как натуральное число. Чтобы $n$ было натуральным, $5-k$ должно быть делителем $3k-4$.

7. Рассмотрим возможные значения $k$. Поскольку $k$ — натуральное число, рассмотрим различные $k$:

   • Если $k=1$: $n(5-1)=3\cdot 1-4⟹4n=-1.$ Решения в натуральных числах нет.

   • Если $k=2$: $n(5-2)=3\cdot 2-4⟹3n=2⟹n=\frac{2}{3}.$ Решения в натуральных числах нет.

   • Если $k=3$: $n(5-3)=3\cdot 3-4⟹2n=5⟹n=\frac{5}{2}.$ Решения в натуральных числах нет.

   • Если $k=4$: $n(5-4)=3\cdot 4-4⟹n=8.$ Это решение является натуральным числом.

   • Если $k\ge 5$, то $5-k$ будет отрицательным или нулевым, что нарушает условие, что $n$ натуральное число.

Таким образом, единственное значение $k$, при котором $n$ является натуральным числом, это $k=4$ и соответствующее значение $n=8$.

Ответ: $n=8$.