Найти векторное произведение векторов a=2i+3j+5k и b = i+2j+k Вычислить площадь треугольника АВС, где...

Для решения этих задач, давайте начнем с векторного произведения векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ).

Векторное произведение векторов

Векторы: [ \mathbf{a} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 5\mathbf{k} ] [ \mathbf{b} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} ]

Векторное произведение ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} ) определяется как: [ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2 & 3 & 5 \ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} ]

Раскроем этот определитель: [ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \left( 3 \cdot 1 - 5 \cdot 2 \right) - \mathbf{j} \left( 2 \cdot 1 - 5 \cdot 1 \right) + \mathbf{k} \left( 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 \right) ] [ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} \left( 3 - 10 \right) - \mathbf{j} \left( 2 - 5 \right) + \mathbf{k} \left( 4 - 3 \right) ] [ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -7\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + \mathbf{k} ]

Таким образом, векторное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ): [ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -7\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + \mathbf{k} ]

Площадь треугольника ABC

Координаты точек: [ A(2, -1, 3) ] [ B(-2, 2, 5) ] [ C(1, 2, 3) ]

Сначала найдем векторы ( \mathbf{AB} ) и ( \mathbf{AC} ): [ \mathbf{AB} = B - A = (-2 - 2, 2 + 1, 5 - 3) = (-4, 3, 2) ] [ \mathbf{AC} = C - A = (1 - 2, 2 + 1, 3 - 3) = (-1, 3, 0) ]

Теперь найдем векторное произведение ( \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} ): [ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -4 & 3 & 2 \ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix} ]

Раскроем этот определитель: [ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \mathbf{i} \left( 3 \cdot 0 - 2 \cdot 3 \right) - \mathbf{j} \left( -4 \cdot 0 - 2 \cdot -1 \right) + \mathbf{k} \left( -4 \cdot 3 - 3 \cdot -1 \right) ] [ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \mathbf{i} \left( 0 - 6 \right) - \mathbf{j} \left( 0 + 2 \right) + \mathbf{k} \left( -12 + 3 \right) ] [ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = -6\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 9\mathbf{k} ]

Площадь треугольника ( ABC ) равна половине длины вектора ( \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} ): [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \left| \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} \right| ]

Найдем длину вектора ( -6\mathbf{i} - 2\mathbf{j} - 9\mathbf{k} ): [ \left| \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} \right| = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-9)^2} ] [ \left| \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} \right| = \sqrt{36 + 4 + 81} ] [ \left| \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} \right| = \sqrt{121} ] [ \left| \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} \right| = 11 ]

Таким образом, площадь треугольника ( ABC ): [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 11 = 5.5 ]

Итак, векторное произведение векторов ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) равно ( -7\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + \mathbf{k} ), а площадь треугольника ( ABC ) равна ( 5.5 ) квадратных единиц.

Для начала найдем векторное произведение векторов a и b.

a x b = (31 - 52)i - (21 - 51)j + (22 - 31)k a x b = -7i - 3j + 1k

Теперь нам нужно найти длину этого вектора, которая равна корню из суммы квадратов его координат: |a x b| = √((-7)^2 + (-3)^2 + 1^2) |a x b| = √(49 + 9 + 1) |a x b| = √59

Теперь найдем половину площади параллелограмма, образованного векторами a и b. Площадь будет равна модулю векторного произведения векторов a и b, деленному на 2: S = |a x b| / 2 S = √59 / 2 S = √59 / 2

Так как треугольник ABC - это половина параллелограмма, образованного векторами a и b, его площадь будет равна половине площади этого параллелограмма: S(ABC) = S = √59 / 2