Найти tg a, если sin a = -4√41/41 , [π; 3π/2]

Чтобы найти (\tan a), зная (\sin a = -\frac{4\sqrt{41}}{41}) и что угол (a) находится в диапазоне ([\pi, \frac{3\pi}{2}]), следуем следующим шагам.

1. Определение квадранта: Угол (a) находится в третьей четверти, так как ([\pi, \frac{3\pi}{2}]) соответствует именно этому интервалу. В третьей четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен.

2. Формула связи синуса и косинуса: Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ] Подставим значение (\sin a): [ \left(-\frac{4\sqrt{41}}{41}\right)^2 + \cos^2 a = 1 ] [ \frac{16 \cdot 41}{41^2} + \cos^2 a = 1 ] [ \frac{16}{41} + \cos^2 a = 1 ] [ \cos^2 a = 1 - \frac{16}{41} = \frac{41}{41} - \frac{16}{41} = \frac{25}{41} ]

3. Определение знака косинуса: Поскольку (a) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, то: [ \cos a = -\sqrt{\frac{25}{41}} = -\frac{5}{\sqrt{41}} ]

4. Нахождение тангенса: Используем определение тангенса: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{4\sqrt{41}}{41}}{-\frac{5}{\sqrt{41}}} ] Упростим выражение: [ \tan a = \frac{4\sqrt{41}}{41} \cdot \frac{\sqrt{41}}{5} = \frac{4 \cdot 41}{41 \cdot 5} = \frac{4 \cdot 41}{205} = \frac{4}{5} ]

Таким образом, (\tan a = \frac{4}{5}). Учитывая, что угол находится в третьей четверти, полученное значение положительно, что согласуется с известными свойствами тригонометрических функций.

Для того чтобы найти tg a, нам необходимо использовать тригонометрические тождества. Известно, что sin a = -4√41/41 cos a = √(1 - sin^2a) = √(1 - (-4√41/41)^2) = √(1 - 16*41/41^2) = √(1 - 16/41) = √(41 - 16)/41 = √25/41 = 5/41

Теперь мы можем найти tg a, используя соотношение tg a = sin a / cos a: tg a = (-4√41/41) / (5/41) = -4√41/5

Таким образом, tg a = -4√41/5.