Найти tg a, если sin a = -4√41/41 , $\pi ;3\pi /2$

Чтобы найти $\tan a$, зная $\sin a=-\frac{4\sqrt{41}}{41}$ и что угол $a$ находится в диапазоне $[\pi ,\frac{3\pi }{2}]$, следуем следующим шагам.

1. Определение квадранта: Угол $a$ находится в третьей четверти, так как $[\pi ,\frac{3\pi }{2}]$ соответствует именно этому интервалу. В третьей четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен.

2. Формула связи синуса и косинуса: Используем основное тригонометрическое тождество: ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ Подставим значение $\sin a$: ${(-\frac{4\sqrt{41}}{41})}^2+{\cos }^{2}a=1$ $\frac{16\cdot 41}{{41}^2}+{\cos }^{2}a=1$ $\frac{16}{41}+{\cos }^{2}a=1$ ${\cos }^{2}a=1-\frac{16}{41}=\frac{41}{41}-\frac{16}{41}=\frac{25}{41}$

3. Определение знака косинуса: Поскольку $a$ находится в третьей четверти, где косинус отрицателен, то: $\cos a=-\sqrt{\frac{25}{41}}=-\frac{5}{\sqrt{41}}$

4. Нахождение тангенса: Используем определение тангенса: $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{-\frac{4\sqrt{41}}{41}}{-\frac{5}{\sqrt{41}}}$ Упростим выражение: $\tan a=\frac{4\sqrt{41}}{41}\cdot \frac{\sqrt{41}}{5}=\frac{4\cdot 41}{41\cdot 5}=\frac{4\cdot 41}{205}=\frac{4}{5}$

Таким образом, $\tan a=\frac{4}{5}$. Учитывая, что угол находится в третьей четверти, полученное значение положительно, что согласуется с известными свойствами тригонометрических функций.

Для того чтобы найти tg a, нам необходимо использовать тригонометрические тождества. Известно, что sin a = -4√41/41 cos a = √$1-si{n}^{2}a$ = √$1-(-4\surd 41/41$^2) = √$1-16\ast 41/{41}^2$ = √$1-16/41$ = √$41-16$/41 = √25/41 = 5/41

Теперь мы можем найти tg a, используя соотношение tg a = sin a / cos a: tg a = $-4\surd 41/41$ / $5/41$ = -4√41/5

Таким образом, tg a = -4√41/5.