Найти скорость и ускорение в момент времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки...

Для нахождения скорости и ускорения точки, движущейся прямолинейно, заданной уравнением перемещения ( S(t) = t^3 + 5t^2 + 4 ), необходимо использовать производные функции перемещения.

1. Находим скорость. Скорость ( v(t) ) определяется как первая производная перемещения по времени: [ v(t) = \frac{dS}{dt} = S'(t). ] Чтобы найти производную, применим правила дифференцирования: [ S(t) = t^3 + 5t^2 + 4. ]

   Вычисляем производную: [ S'(t) = 3t^2 + 10t. ]

   Теперь подставим значение ( t = 2 ): [ v(2) = 3(2^2) + 10(2) = 3(4) + 20 = 12 + 20 = 32. ]

   Таким образом, скорость в момент времени ( t = 2 ) равна ( 32 ) единицам пути в секунду.

2. Находим ускорение. Ускорение ( a(t) ) определяется как вторая производная перемещения, а также как первая производная скорости: [ a(t) = \frac{dv}{dt} = v'(t) = S''(t). ]

   Сначала найдем вторую производную перемещения: [ S'(t) = 3t^2 + 10t. ] Теперь найдем производную ( S'(t) ): [ S''(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 + 10t) = 6t + 10. ]

   Подставляем ( t = 2 ): [ a(2) = 6(2) + 10 = 12 + 10 = 22. ]

Таким образом, ускорение в момент времени ( t = 2 ) равно ( 22 ) единицам пути в секунду в квадрате.

Итоги:

• Скорость в момент времени ( t = 2 ): ( v(2) = 32 ) единицы/с.
• Ускорение в момент времени ( t = 2 ): ( a(2) = 22 ) единицы/с².

Для решения задачи нам нужно определить скорость и ускорение точки в момент времени ( t = 2 ). Движение точки задано уравнением ( S(t) = t^3 + 5t^2 + 4 ), где ( S(t) ) — это пройденный путь (координата) в зависимости от времени ( t ).

1. Определение скорости

Скорость ( v(t) ) — это первая производная от координаты ( S(t) ) по времени ( t ): [ v(t) = \frac{dS(t)}{dt}. ]

Найдем производную функции ( S(t) = t^3 + 5t^2 + 4 ): [ \frac{d}{dt}\big(t^3\big) = 3t^2, \quad \frac{d}{dt}\big(5t^2\big) = 10t, \quad \frac{d}{dt}\big(4\big) = 0. ]

Тогда: [ v(t) = 3t^2 + 10t. ]

Теперь подставим ( t = 2 ) в выражение для скорости: [ v(2) = 3(2)^2 + 10(2) = 3 \cdot 4 + 20 = 12 + 20 = 32. ]

Скорость точки в момент времени ( t = 2 ) равна: [ v(2) = 32 \, \text{единиц скорости}. ]

2. Определение ускорения

Ускорение ( a(t) ) — это первая производная скорости ( v(t) ), или вторая производная координаты ( S(t) ) по времени ( t ): [ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d^2S(t)}{dt^2}. ]

Найдем производную функции ( v(t) = 3t^2 + 10t ): [ \frac{d}{dt}\big(3t^2\big) = 6t, \quad \frac{d}{dt}\big(10t\big) = 10. ]

Тогда: [ a(t) = 6t + 10. ]

Теперь подставим ( t = 2 ) в выражение для ускорения: [ a(2) = 6(2) + 10 = 12 + 10 = 22. ]

Ускорение точки в момент времени ( t = 2 ) равно: [ a(2) = 22 \, \text{единиц ускорения}. ]

Ответ:

1. Скорость точки в момент времени ( t = 2 ): ( v(2) = 32 ).
2. Ускорение точки в момент времени ( t = 2 ): ( a(2) = 22 ).