Найти sin a, если ctg a=-2

sin a = -1/√5

Для нахождения значения (\sin a), когда дано (\cot a = -2), можно воспользоваться тригонометрическими тождествами и основными свойствами тригонометрических функций.

1. Связь между (\cot a) и (\tan a): [ \cot a = \frac{1}{\tan a} ] Поскольку (\cot a = -2), можем найти (\tan a): [ \tan a = \frac{1}{\cot a} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} ]

2. Связь между (\tan a) и (\sin a), (\cos a): [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ] Подставим известное значение (\tan a): [ -\frac{1}{2} = \frac{\sin a}{\cos a} ] Это означает, что: [ \sin a = -\frac{1}{2} \cos a ]

3. Основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ] Подставим выражение для (\sin a): [ \left(-\frac{1}{2} \cos a\right)^2 + \cos^2 a = 1 ] Решим это уравнение: [ \left(\frac{1}{4} \cos^2 a\right) + \cos^2 a = 1 ] [ \frac{1}{4} \cos^2 a + \cos^2 a = 1 ] [ \frac{1}{4} \cos^2 a + \frac{4}{4} \cos^2 a = 1 ] [ \frac{5}{4} \cos^2 a = 1 ] [ \cos^2 a = \frac{4}{5} ] Следовательно: [ \cos a = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} ]

4. Нахождение (\sin a): Напомним, что: [ \sin a = -\frac{1}{2} \cos a ] Подставим значения (\cos a): [ \sin a = -\frac{1}{2} \left( \pm \frac{2\sqrt{5}}{5} \right) ] Это дает нам два значения: [ \sin a = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\frac{2\sqrt{5}}{10} = -\frac{\sqrt{5}}{5} ] или [ \sin a = -\frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right) = \frac{\sqrt{5}}{5} ]

Таким образом, возможные значения (\sin a) при (\cot a = -2) равны (-\frac{\sqrt{5}}{5}) или (\frac{\sqrt{5}}{5}). Чтобы определить, какое из этих значений подходит, нужно знать в какой четверти находится угол (a).

Для отрицательного значения (\cot a), угол (a) может находиться либо во второй четверти (где (\sin a) положительный, а (\cos a) отрицательный), либо в четвертой четверти (где (\sin a) отрицательный, а (\cos a) положительный). Таким образом, без дополнительной информации о четверти, точное значение (\sin a) определить невозможно.

Для того чтобы найти sin a, нам нужно использовать определение тригонометрических функций и связь между ними.

Известно, что ctg a = 1/tg a = -2. Так как tg a = 1/ctg a, то tg a = -1/2.

Затем мы можем использовать теорему Пифагора: sin^2 a + cos^2 a = 1. Подставляя значение tg a, мы можем найти cos a и затем sin a.

cos^2 a = 1 / (1 + tg^2 a) = 1 / (1 + (-1/2)^2) = 1 / (1 + 1/4) = 1 / (5/4) = 4/5.

Таким образом, cos a = √(4/5) = 2/√5.

Наконец, sin a = ±√(1 - cos^2 a) = ±√(1 - 4/5) = ±√(1/5) = ±1/√5.

Так как ctg a = -2, то a лежит в третьем или четвертом квадранте, где sin a < 0.

Итак, sin a = -1/√5.