Найти ромб с наибольшей площадью, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10

Чтобы найти ромб с наибольшей площадью, когда сумма длин его диагоналей равна 10, давайте обозначим диагонали ромба как ( d_1 ) и ( d_2 ). Из условия задачи имеем:

[ d_1 + d_2 = 10. ]

Площадь ( S ) ромба можно выразить через длины его диагоналей как:

[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2. ]

Наша задача — максимизировать ( S ).

Подставим выражение для одной из диагоналей через другую из условия:

[ d_2 = 10 - d_1. ]

Теперь подставим это в формулу для площади:

[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times (10 - d_1) = \frac{1}{2} \times (10d_1 - d_1^2). ]

Упростим:

[ S = 5d_1 - \frac{1}{2}d_1^2. ]

Это квадратичная функция от ( d_1 ), которая достигает максимума в вершине параболы. Вершина параболы, заданной уравнением ( ax^2 + bx + c ), находится в точке ( x = -\frac{b}{2a} ).

Для нашей функции:

• ( a = -\frac{1}{2}, )
• ( b = 5. )

Тогда координата вершины:

[ d_1 = -\frac{5}{2 \times (-\frac{1}{2})} = 5. ]

Подставим найденное значение ( d_1 = 5 ) в уравнение для ( d_2 ):

[ d_2 = 10 - 5 = 5. ]

Таким образом, оба диагонали равны 5, что означает, что ромб с максимальной площадью является квадратом (поскольку в квадрате диагонали также равны).

Теперь вычислим наибольшую площадь:

[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 = \frac{25}{2} = 12.5. ]

Таким образом, ромб с наибольшей площадью, при условии что сумма его диагоналей равна 10, является квадратом с диагоналями длиной 5, и его площадь равна 12.5.

Для нахождения ромба с наибольшей площадью, нам нужно воспользоваться свойствами ромба.

Ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны между собой, а диагонали взаимно перпендикулярны и делят друг друга пополам. Пусть сторона ромба равна а, тогда его диагонали равны 2а.

По условию задачи сумма длин диагоналей равна 10: 2а + 2а = 10, откуда а = 5/2 = 2.5.

Теперь можем найти площадь ромба по формуле: S = (d1 d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба. Подставляя известные значения, получаем: S = (2 2.5) / 2 = 5.

Таким образом, чтобы найти ромб с наибольшей площадью при сумме длин диагоналей 10, необходимо выбрать ромб со стороной 2.5 и его площадь будет равна 5.