Найти производную f(x)=(7x+4)^5

Чтобы найти производную функции f(x) = (7x + 4)^5, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепного правила). Для этого сначала вычислим производную внутренней функции (7x + 4), которая равна 7, а затем возведем ее в степень и умножим на производную степенной функции:

f'(x) = 5(7x + 4)^4 * 7 = 35(7x + 4)^4

Таким образом, производная функции f(x) = (7x + 4)^5 равна 35(7x + 4)^4.

Чтобы найти производную функции ( f(x) = (7x + 4)^5 ), мы можем применить правило цепочки, которое является важным инструментом в дифференцировании сложных функций.

Формально, правило цепочки гласит, что если у нас есть сложная функция вида ( y = (u(x))^n ), то её производная ( y' ) будет равна:

[ y' = n \cdot (u(x))^{n-1} \cdot u'(x) ]

В данном случае, у нас ( u(x) = 7x + 4 ) и ( n = 5 ). Давайте найдем производную этой функции шаг за шагом:

1. Внешняя функция и её производная: внешняя функция — это ((u(x))^5). Производная внешней функции по ( u ) равна ( 5 \cdot (u(x))^4 ).

2. Внутренняя функция и её производная: внутренняя функция — это ( u(x) = 7x + 4 ). Производная внутренней функции по ( x ) равна ( u'(x) = 7 ).

3. Применение правила цепочки: теперь мы можем подставить найденные производные в формулу:

[ f'(x) = 5 \cdot (7x + 4)^4 \cdot 7 ]

1. Упрощение: перемножим коэффициенты:

[ f'(x) = 35 \cdot (7x + 4)^4 ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = (7x + 4)^5 ) равна ( f'(x) = 35 \cdot (7x + 4)^4 ).