Найти производную функции: y= x^3/2x+4

Для нахождения производной функции y = x^(3/2) / (2x + 4) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Сначала выразим функцию в виде y = (x^(3/2)) / (2x + 4) = x^(3/2) * (2x + 4)^(-1). Теперь применим правило дифференцирования произведения функций: (uv)' = u'v + uv'. Где u = x^(3/2), v = (2x + 4)^(-1).

Найдем производную первого множителя u' = (3/2)x^(1/2). Найдем производную второго множителя v' = -1(2x + 4)^(-2) * 2 = -2(2x + 4)^(-2). Теперь подставим эти значения в формулу (uv)': y' = u'v + uv'.

y' = (3/2)x^(1/2) (2x + 4)^(-1) + x^(3/2) -2(2x + 4)^(-2)

y' = (3/2)x^(1/2) / (2x + 4) - 2x^(3/2) / (2x + 4)^2

Таким образом, производная функции y = x^(3/2) / (2x + 4) равна (3/2)x^(1/2) / (2x + 4) - 2x^(3/2) / (2x + 4)^2.

y' = (3/2)x^(1/2) - (3/2)(x^3)/(2x+4)^2

Для того чтобы найти производную функции ( y = \frac{x^3}{2x + 4} ), необходимо применить правило дифференцирования частного, известное как правило Лейбница. Это правило гласит, что если у нас есть функция в виде дроби ( y = \frac{u(x)}{v(x)} ), то её производная вычисляется по формуле:

[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

В нашем случае ( u(x) = x^3 ) и ( v(x) = 2x + 4 ).

Шаг 1: Найдём производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ).

[ u(x) = x^3 \implies u'(x) = 3x^2 ]

[ v(x) = 2x + 4 \implies v'(x) = 2 ]

Шаг 2: Подставим найденные значения в формулу для производной частного.

[ \left( \frac{x^3}{2x + 4} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} ]

[ \left( \frac{x^3}{2x + 4} \right)' = \frac{(3x^2)(2x + 4) - (x^3)(2)}{(2x + 4)^2} ]

Шаг 3: Упростим числитель.

[ (3x^2)(2x + 4) - (x^3)(2) = 3x^2 \cdot 2x + 3x^2 \cdot 4 - 2x^3 ]

[ = 6x^3 + 12x^2 - 2x^3 ]

[ = 6x^3 - 2x^3 + 12x^2 ]

[ = 4x^3 + 12x^2 ]

Шаг 4: Теперь подставим это в числитель нашей дроби.

[ \left( \frac{x^3}{2x + 4} \right)' = \frac{4x^3 + 12x^2}{(2x + 4)^2} ]

Шаг 5: Упростим знаменатель.

[ (2x + 4)^2 = (2x + 4)(2x + 4) ]

[ = 4x^2 + 8x + 8x + 16 ]

[ = 4x^2 + 16x + 16 ]

Шаг 6: Подставляем упрощённый знаменатель в нашу дробь.

[ \left( \frac{x^3}{2x + 4} \right)' = \frac{4x^3 + 12x^2}{4x^2 + 16x + 16} ]

Таким образом, производная функции ( y = \frac{x^3}{2x + 4} ) равна:

[ \boxed{\frac{4x^3 + 12x^2}{4x^2 + 16x + 16}} ]