Найти производную функции: y=tg5x

Для нахождения производной функции y = tg(5x) необходимо воспользоваться правилом дифференцирования тангенса.

tg'(x) = 1/(cos^2(x))

Таким образом, производная функции y = tg(5x) будет равна:

y' = 5 * 1/(cos^2(5x)) = 5 / cos^2(5x)

Это и будет искомой производной функции y = tg(5x).

Для того чтобы найти производную функции ( y = \tan(5x) ), мы будем использовать правила дифференцирования, в частности, правило дифференцирования сложных функций и производную тангенса.

1. Правило дифференцирования сложных функций (цепное правило): Если функция ( y ) является сложной функцией, то есть ( y = f(g(x)) ), то её производная вычисляется как: [ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) ]

2. Производная тангенса: Производная тангенса ( \tan(u) ) по переменной ( u ) равна: [ \frac{d}{du} \tan(u) = \sec^2(u) ] где ( \sec(u) = \frac{1}{\cos(u)} ).

Теперь применим эти правила к нашей функции ( y = \tan(5x) ).

1. Определим внутреннюю функцию и внешнюю функцию:

   • Внутренняя функция: ( u = 5x )
   • Внешняя функция: ( y = \tan(u) )

2. Найдём производную внутренней функции ( u = 5x ) по ( x ): [ \frac{du}{dx} = 5 ]

3. Найдём производную внешней функции ( y = \tan(u) ) по ( u ): [ \frac{dy}{du} = \sec^2(u) ]

4. Теперь применим цепное правило, чтобы найти производную ( y ) по ( x ): [ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} ] Подставим найденные производные: [ \frac{dy}{dx} = \sec^2(u) \cdot 5 ]

5. Заменим ( u ) обратно на ( 5x ): [ \frac{dy}{dx} = \sec^2(5x) \cdot 5 ]

Таким образом, производная функции ( y = \tan(5x) ) равна: [ \frac{dy}{dx} = 5 \sec^2(5x) ]

Это и есть искомая производная.