Найти производную функции: y=tg5x

Для нахождения производной функции y = tg$5x$ необходимо воспользоваться правилом дифференцирования тангенса.

tg'$x$ = 1/$co{s}^2(x$)

Таким образом, производная функции y = tg$5x$ будет равна:

y' = 5 * 1/$co{s}^2(5x$) = 5 / cos^2$5x$

Это и будет искомой производной функции y = tg$5x$.

Для того чтобы найти производную функции $y=\tan (5x$ ), мы будем использовать правила дифференцирования, в частности, правило дифференцирования сложных функций и производную тангенса.

1. Правило дифференцирования сложных функций $цепноеправило$: Если функция $y$ является сложной функцией, то есть $y=f(g(x$) ), то её производная вычисляется как: $\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

2. Производная тангенса: Производная тангенса $\tan (u$ ) по переменной $u$ равна: $\frac{d}{du}\tan (u)={\sec }^2(u)$ где $\sec (u$ = \frac{1}{\cos$u$} ).

Теперь применим эти правила к нашей функции $y=\tan (5x$ ).

1. Определим внутреннюю функцию и внешнюю функцию:

   • Внутренняя функция: $u=5x$
   • Внешняя функция: $y=\tan (u$ )

2. Найдём производную внутренней функции $u=5x$ по $x$: $\frac{du}{dx}=5$

3. Найдём производную внешней функции $y=\tan (u$ ) по $u$: $\frac{dy}{du}={\sec }^2(u)$

4. Теперь применим цепное правило, чтобы найти производную $y$ по $x$: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$ Подставим найденные производные: $\frac{dy}{dx}={\sec }^2(u)\cdot 5$

5. Заменим $u$ обратно на $5x$: $\frac{dy}{dx}={\sec }^2(5x)\cdot 5$

Таким образом, производная функции $y=\tan (5x$ ) равна: $\frac{dy}{dx}=5{\sec }^2(5x)$

Это и есть искомая производная.