Найти производную функции f(x)=ln корень из 5+sinx

Чтобы найти производную функции ( f(x) = \ln(\sqrt{5 + \sin x}) ), давайте сначала упростим выражение. Используем свойство логарифмов: (\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln(a)). Таким образом, функция переписывается как:

[ f(x) = \frac{1}{2} \ln(5 + \sin x) ]

Теперь нам нужно найти производную этой функции. Применим правило цепочки. Если у нас есть функция ( g(x) = \ln(u(x)) ), то её производная равна:

[ g'(x) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) ]

В данном случае ( u(x) = 5 + \sin x ). Тогда производная ( u(x) ) равна:

[ u'(x) = \cos x ]

Теперь вернемся к нашей функции ( f(x) ):

[ f(x) = \frac{1}{2} \ln(5 + \sin x) ]

Производная будет:

[ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5 + \sin x} \cdot \cos x ]

Упростим выражение:

[ f'(x) = \frac{\cos x}{2(5 + \sin x)} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \ln(\sqrt{5 + \sin x}) ) равна:

[ f'(x) = \frac{\cos x}{2(5 + \sin x)} ]

Для нахождения производной функции (f(x) = \ln(\sqrt{5+\sin(x)})) используем цепное правило дифференцирования. Первым шагом найдем производную внутренней функции (\sqrt{5+\sin(x)}).

Пусть (g(x) = \sqrt{5+\sin(x)}), тогда (g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{5+\sin(x)}} \cdot \cos(x)).

Затем найдем производную внешней функции (\ln(x)), которая равна (\frac{1}{x}).

Итак, применяя цепное правило, получаем:

[f'(x) = \frac{1}{\sqrt{5+\sin(x)}} \cdot \cos(x)]