Найти производную 1/cosx

Для нахождения производной функции 1/cos(x) нужно использовать правило дифференцирования частного функций.

1. Найдем производную косинуса функции cos(x):

d/dx (cos(x)) = -sin(x)

1. Теперь используем правило дифференцирования частного функций:

d/dx (1/cos(x)) = (0cos(x) - 1(-sin(x))) / (cos(x))^2

              = sin(x) / (cos(x))^2
              = sin(x) / cos^2(x)

Итак, производная функции 1/cos(x) равна sin(x) / cos^2(x).

Производная функции 1/cos(x) равна tg(x).

Чтобы найти производную функции ( f(x) = \frac{1}{\cos x} ), можно воспользоваться правилом дифференцирования сложных функций, а также правилом дифференцирования частного. Для данной функции удобно использовать представление через тригонометрическую функцию секанс:

[ f(x) = \sec x ]

Теперь найдем производную секанса. Вспомним, что:

[ \sec x = \frac{1}{\cos x} ]

и воспользуемся правилом дифференцирования секанса. Производная секанса известна и равна:

[ \frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = \frac{1}{\cos x} ) будет:

[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x ]

Теперь давайте проверим это, используя правило дифференцирования частного. Воспользуемся правилом Лейбница для производной частного:

[ \frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} ]

для функции ( f(x) = \frac{1}{\cos x} ), где ( u = 1 ) и ( v = \cos x ):

1. Вычислим производные ( u ) и ( v ): [ u = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{dx} = 0 ] [ v = \cos x \quad \Rightarrow \quad \frac{dv}{dx} = -\sin x ]

2. Подставим вычисленные значения в формулу: [ f'(x) = \frac{\cos x \cdot 0 - 1 \cdot (-\sin x)}{(\cos x)^2} = \frac{\sin x}{\cos^2 x} ]

3. Упростим выражение: [ f'(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sin x \cdot \sec^2 x = \sec x \cdot \tan x ]

Таким образом, мы пришли к тому же результату:

[ f'(x) = \sec x \cdot \tan x ]

Итак, производная функции ( \frac{1}{\cos x} ) равна ( \sec x \cdot \tan x ).