Найти площадь фигуры , ограниченной линиями: y=x^2 и y=2-x^2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y=x^2 и y=2-x^2, необходимо сначала найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения:

x^2 = 2 - x^2 2x^2 = 2 x^2 = 1 x = ±1

Точки пересечения кривых находятся при x = -1 и x = 1. Теперь найдем значения y в этих точках:

При x = -1: y = (-1)^2 = 1 При x = 1: y = 2 - 1^2 = 1

Таким образом, точки пересечения кривых - (-1, 1) и (1, 1). Учитывая симметричность фигуры относительно оси ординат, можно найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, как удвоенную площадь одной из половин фигуры, то есть:

S = 2 * ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

Где f(x) = 2 - x^2 и g(x) = x^2. Предел интегрирования от -1 до 1, так как фигура симметрична:

S = 2 ∫[-1,1] (2 - x^2 - x^2) dx S = 2 ∫[-1,1] (2 - 2x^2) dx S = 2 [2x - (2/3)x^3] |[-1,1] S = 2 [(2 - (2/3)) - (-2 + (2/3))] S = 2 [(4/3) - (-4/3)] S = 2 (8/3) S = 16/3

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2 и y=2-x^2, равна 16/3.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 2 - x^2 ), нам необходимо сначала найти точки пересечения этих кривых. Решим уравнение:

[ x^2 = 2 - x^2 ]

Переносим все члены уравнения в одну сторону:

[ 2x^2 = 2 ]

[ x^2 = 1 ]

[ x = \pm 1 ]

Итак, кривые пересекаются в точках ( x = -1 ) и ( x = 1 ). Теперь рассмотрим интервал от (-1) до (1). На этом интервале функция ( y = 2 - x^2 ) находится выше функции ( y = x^2 ), так как ( 2 - x^2 ) равно 2 в вершине (при ( x = 0 )), уменьшаясь по мере увеличения ( |x| ), в то время как ( x^2 ) увеличивается с увеличением ( |x| ) от 0 до 1.

Чтобы найти площадь фигуры между этими кривыми, вычтем из значений верхней функции ( y = 2 - x^2 ) значения нижней функции ( y = x^2 ) на интервале от (-1) до (1), и найдем интеграл полученной разности:

[ \text{Площадь} = \int{-1}^1 ((2 - x^2) - x^2) \, dx = \int{-1}^1 (2 - 2x^2) \, dx ]

Вычислим интеграл:

[ \int (2 - 2x^2) \, dx = 2x - \frac{2}{3}x^3 + C ]

Подставим пределы интегрирования:

[ \left[ 2x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{-1}^{1} = \left( 2(1) - \frac{2}{3}(1)^3 \right) - \left( 2(-1) - \frac{2}{3}(-1)^3 \right) ] [ = \left( 2 - \frac{2}{3} \right) - \left( -2 + \frac{2}{3} \right) ] [ = \left( \frac{6}{3} - \frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{6}{3} + \frac{2}{3} \right) ] [ = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3} ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = 2 - x^2 ), равна ( \frac{8}{3} ) квадратных единиц.

Площадь фигуры равна 4/3.