Найти наименьшее значение функции e^3x-3x на интервале (-1;1)

Наименьшее значение функции e^3x-3x на интервале (-1;1) равно e^3-3.

Для нахождения наименьшего значения функции e^3x - 3x на интервале (-1;1) необходимо найти критические точки функции в этом интервале.

Сначала найдем производную функции e^3x - 3x: f'(x) = 3e^3x - 3

Затем найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение: 3e^3x - 3 = 0 e^3x = 1 3x = 0 x = 0

Таким образом, критическая точка функции находится в x = 0.

Теперь проверим значения функции на концах интервала (-1;1): f(-1) = e^(-3) + 3 ≈ 2.31 f(1) = e^3 - 3 ≈ 17.08

Таким образом, наименьшее значение функции e^3x - 3x на интервале (-1;1) равно примерно 2.31 и достигается при x = -1.

Чтобы найти наименьшее значение функции ( f(x) = e^{3x} - 3x ) на интервале ((-1, 1)), необходимо выполнить несколько шагов анализа, включая нахождение критических точек и исследование поведения функции на концах интервала.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для начала найдем первую производную функции ( f(x) ):

[ f'(x) = \frac{d}{dx}(e^{3x}) - \frac{d}{dx}(3x) = 3e^{3x} - 3 ]

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся из условия ( f'(x) = 0 ):

[ 3e^{3x} - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3e^{3x} = 3 \quad \Rightarrow \quad e^{3x} = 1 ]

Решая это уравнение, получаем:

[ 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 ]

Шаг 3: Исследуем поведение функции на интервале

Теперь у нас есть критическая точка ( x = 0 ), которая лежит внутри интервала ((-1, 1)). Нам также нужно рассмотреть поведение функции на концах интервала.

Значение функции в критической точке

Подставим ( x = 0 ) в функцию:

[ f(0) = e^{3 \cdot 0} - 3 \cdot 0 = 1 ]

Поведение функции на концах интервала

Хотя ((-1, 1)) — открытый интервал, мы можем исследовать пределы функции при ( x \to -1^+ ) и ( x \to 1^- ).

• Для ( x \to -1^+ ): [ f(x) = e^{3x} - 3x \to e^{-3} + 3 \approx 0.0498 + 3 = 3.0498 ]

• Для ( x \to 1^- ): [ f(x) = e^{3x} - 3x \to e^3 - 3 \approx 20.0855 - 3 = 17.0855 ]

Шаг 4: Вывод

Сравнив значения, полученные в критической точке и на концах интервала, можем сделать вывод, что наименьшее значение функции ( f(x) ) на интервале ((-1, 1)) равно 1, и достигается оно в точке ( x = 0 ).