Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х^3 - 6х^2 +1 на числовом отрезке [- 1, 2].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ( y = x^3 - 6x^2 + 1 ) на отрезке ([-1, 2]), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. Для начала найдем производную ( y' ): [ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 1) = 3x^2 - 12x. ]

2. Найти критические точки. Установим производную равной нулю и решим уравнение: [ 3x^2 - 12x = 0. ] Вынесем общий множитель: [ 3x(x - 4) = 0. ] Это уравнение имеет два решения: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4. ]

   Однако, ( x = 4 ) не входит в рассматриваемый отрезок ([-1, 2]), поэтому нам остается только точка ( x = 0 ).

3. Вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка. Теперь нам нужно вычислить значения функции в точках ( x = -1 ), ( x = 0 ) и ( x = 2 ).

   • При ( x = -1 ): [ y(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 1 = -1 - 6 + 1 = -6. ]

   • При ( x = 0 ): [ y(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 1 = 1. ]

   • При ( x = 2 ): [ y(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 1 = 8 - 24 + 1 = -15. ]

4. Сравнить значения. Теперь сравним полученные значения:

   • ( y(-1) = -6 )
   • ( y(0) = 1 )
   • ( y(2) = -15 )

   Наибольшее значение функции на отрезке ([-1, 2]) равно ( 1 ) (при ( x = 0 )), а наименьшее значение равно ( -15 ) (при ( x = 2 )).

5. Ответ:

   • Наибольшее значение: ( 1 ) (при ( x = 0 )).
   • Наименьшее значение: ( -15 ) (при ( x = 2 )).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ( y = x^3 - 6x^2 + 1 ) на заданном отрезке ([-1, 2]), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции

Для анализа экстремумов функции найдём её производную:

[ y' = 3x^2 - 12x ]

2. Найти критические точки

Критические точки находятся из уравнения ( y' = 0 ). Решим уравнение:

[ 3x^2 - 12x = 0 ]

Вынесем общий множитель (3x) за скобки:

[ 3x(x - 4) = 0 ]

Отсюда (x = 0) или (x = 4).

3. Проверить критические точки на принадлежность отрезку

Критические точки (x = 0) и (x = 4) нужно проверить на принадлежность заданному отрезку ([-1, 2]).

• (x = 0) принадлежит отрезку ([-1, 2]).
• (x = 4) не принадлежит отрезку ([-1, 2]), поэтому её не учитываем.

4. Вычислить значения функции в концах отрезка и в критических точках

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке необходимо вычислить значение функции (y = x^3 - 6x^2 + 1) в следующих точках:

• на концах отрезка ((x = -1) и (x = 2)),
• в критической точке ((x = 0)).

Подставляем (x = -1):

[ y(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 1 = -1 - 6 + 1 = -6 ]

Подставляем (x = 0):

[ y(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1 ]

Подставляем (x = 2):

[ y(2) = (2)^3 - 6(2)^2 + 1 = 8 - 24 + 1 = -15 ]

5. Сравнить значения функции

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции среди вычисленных значений:

• (y(-1) = -6),
• (y(0) = 1),

• (y(2) = -15).

• Наименьшее значение: (-15) (достигается в точке (x = 2)),

• Наибольшее значение: (1) (достигается в точке (x = 0)).

Ответ:

• Наибольшее значение функции: (y_{\text{max}} = 1), достигается при (x = 0).
• Наименьшее значение функции: (y_{\text{min}} = -15), достигается при (x = 2).