Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)=x^3-2x^2+x+3 на отрезке [0; 3/2]

Наибольшее значение функции f(x) равно 3.375 при x = 3/2, наименьшее значение функции f(x) равно 3 при x = 0.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти производную функции. Это нужно для определения критических точек, в которых производная равна нулю или не существует.

   Функция ( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 ).

   Найдем первую производную ( f'(x) ):

   [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + x + 3) = 3x^2 - 4x + 1. ]

2. Найти критические точки. Для этого решим уравнение ( f'(x) = 0 ):

   [ 3x^2 - 4x + 1 = 0. ]

   Решим квадратное уравнение:

   [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

   где ( a = 3 ), ( b = -4 ), ( c = 1 ).

   Подставляем значения:

   [ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}. ]

   Получаем два корня:

   [ x = 1 \quad \text{и} \quad x = \frac{1}{3}. ]

3. Проверить, лежат ли критические точки в заданном отрезке [0; 3/2].

   Обе критические точки ( x = 1 ) и ( x = \frac{1}{3} ) лежат в отрезке [0; 3/2].

4. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка.

   [ f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0^2 + 0 + 3 = 3, ] [ f\left(\frac{1}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)^3 - 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{2}{9} + \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{27} - \frac{6}{27} + \frac{9}{27} + 3 = \frac{4}{27} + 3 = \frac{4}{27} + \frac{81}{27} = \frac{85}{27}, ] [ f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 3 = 1 - 2 + 1 + 3 = 3, ] [ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^3 - 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - 2 \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - \frac{18}{4} + \frac{3}{2} + 3 = \frac{27}{8} - \frac{36}{8} + \frac{12}{8} + \frac{24}{8} = \frac{27 - 36 + 12 + 24}{8} = \frac{27}{8}. ]

5. Сравнить полученные значения:

   [ f(0) = 3, ] [ f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{85}{27} \approx 3.148, ] [ f(1) = 3, ] [ f\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{27}{8} = 3.375. ]

   Наибольшее значение функции на отрезке [0; 3/2] равно ( \frac{27}{8} \approx 3.375 ), и достигается в точке ( x = \frac{3}{2} ).

   Наименьшее значение функции на отрезке [0; 3/2] равно 3 и достигается в точках ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

Таким образом, наименьшее значение функции ( f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 3 ) на отрезке [0; 3/2] равно 3, а наибольшее значение равно ( \frac{27}{8} \approx 3.375 ).

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x)=x^3-2x^2+x+3 на отрезке [0; 3/2] необходимо:

1. Найти критические точки функции (точки, где производная равна нулю или не существует) внутри отрезка [0; 3/2].
2. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на границах отрезка.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение среди найденных значений.

4. Найдем критические точки функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 Для нахождения критических точек решим уравнение f'(x) = 0: 3x^2 - 4x + 1 = 0 (3x - 1)(x - 1) = 0 Отсюда получаем две критические точки x1 = 1/3 и x2 = 1.

5. Вычислим значения функции в найденных критических точках и на границах отрезка: f(0) = 3 f(1/3) = 1.296296. f(1) = 3 f(3/2) = 4.875

6. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции: Наибольшее значение: max(f(x)) = 4.875 при x = 3/2 Наименьшее значение: min(f(x)) = 1 при x = 1/3

Таким образом, наибольшее значение функции равно 4.875 и достигается при x = 3/2, а наименьшее значение равно 1 и достигается при x = 1/3.