Найти катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23см, а площадь треугольника равна 60см2
Найти катеты прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23см, а площадь треугольника равна 60см2
Для решения задачи о нахождении катетов прямоугольного треугольника, когда известны их сумма и площадь, можно использовать алгебраические методы.
Обозначим катеты прямоугольного треугольника через (a) и (b). Согласно условию задачи, их сумма равна 23 см: [ a + b = 23 ]
Также известно, что площадь треугольника равна 60 см². Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ] Подставим известное значение площади: [ \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 60 ] Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: [ a \cdot b = 120 ]
Теперь у нас есть система уравнений:
Решим эту систему. Из первого уравнения выразим (b) через (a): [ b = 23 - a ]
Подставим это выражение во второе уравнение: [ a \cdot (23 - a) = 120 ] Раскроем скобки: [ 23a - a^2 = 120 ] Перенесем все члены уравнения в одну сторону: [ a^2 - 23a + 120 = 0 ]
Получили квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы для корней квадратного уравнения: [ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] В нашем случае (a = 1), (b = -23), (c = 120): [ a = \frac{23 \pm \sqrt{(-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120}}{2 \cdot 1} ] [ a = \frac{23 \pm \sqrt{529 - 480}}{2} ] [ a = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2} ] [ a = \frac{23 \pm 7}{2} ]
Получаем два решения: [ a = \frac{23 + 7}{2} = 15 ] [ a = \frac{23 - 7}{2} = 8 ]
Соответственно, (b) также будет принимать два значения: Если (a = 15), то (b = 23 - 15 = 8). Если (a = 8), то (b = 23 - 8 = 15).
Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны 15 см и 8 см.
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b (a > b). Тогда мы можем записать систему уравнений на основе известных данных:
a + b = 23 (сумма катетов) ab/2 = 60 (площадь треугольника)
Из первого уравнения находим, что b = 23 - a. Подставляем это значение во второе уравнение:
a(23 - a)/2 = 60 23a - a^2 = 120 a^2 - 23a + 120 = 0
Решаем квадратное уравнение, находим корни:
D = 23^2 - 41120 = 529 - 480 = 49 a1 = (23 + √49)/2 = (23 + 7)/2 = 15 a2 = (23 - √49)/2 = (23 - 7)/2 = 8
Таким образом, мы получаем два возможных значения для катетов: 8см и 15см.
