найдшите экстремумы функции y=5x²+15х-1
срочно надо!
найдшите экстремумы функции y=5x²+15х-1
срочно надо!
Чтобы найти экстремумы функции ( y = 5x^2 + 15x - 1 ), необходимо выполнить несколько шагов, включая нахождение производной функции, определение критических точек и определение типа экстремумов.
В первую очередь, найдем первую производную функции ( y ):
[ y' = \frac{d}{dx}(5x^2 + 15x - 1) = 10x + 15. ]
Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю:
[ 10x + 15 = 0. ]
Решим это уравнение:
[ 10x = -15 \implies x = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}. ]
Теперь мы нашли одну критическую точку: ( x = -\frac{3}{2} ).
Теперь подставим значение ( x = -\frac{3}{2} ) в исходную функцию, чтобы найти значение ( y ):
[ y\left(-\frac{3}{2}\right) = 5\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 15\left(-\frac{3}{2}\right) - 1. ]
Вычислим это:
[ y\left(-\frac{3}{2}\right) = 5 \cdot \frac{9}{4} - \frac{45}{2} - 1 = \frac{45}{4} - \frac{90}{4} - \frac{4}{4} = \frac{45 - 90 - 4}{4} = \frac{-49}{4}. ]
Таким образом, значение функции в критической точке:
[ \left(-\frac{3}{2}, -\frac{49}{4}\right). ]
Чтобы определить, является ли критическая точка минимумом или максимумом, используем вторую производную:
[ y'' = \frac{d^2}{dx^2}(5x^2 + 15x - 1) = 10. ]
Поскольку вторая производная положительна (( y'' = 10 > 0 )), это указывает на то, что функция имеет минимум в данной критической точке.
Экстремумы функции ( y = 5x^2 + 15x - 1 ) находятся в точке ( x = -\frac{3}{2} ), где значение функции ( y = -\frac{49}{4} ). Эта точка является минимумом.
Таким образом, минимум функции ( y ) равен ( -\frac{49}{4} ) и достигается при ( x = -\frac{3}{2} ).
Для нахождения экстремумов функции необходимо найти критические точки, в которых производная функции равна нулю. Это позволит определить точки, где функция достигает либо максимума, либо минимума. Давайте разберемся пошагово.
Дана функция:
( y = 5x^2 + 15x - 1 )
Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке. Для нахождения экстремумов, нам нужно найти первую производную. Применим правило дифференцирования:
[ y' = \frac{d}{dx}(5x^2 + 15x - 1) ]
Используем стандартные правила дифференцирования:
[ y' = 10x + 15 ]
Критические точки определяются из уравнения, когда производная равна нулю:
[ y' = 10x + 15 = 0 ]
Решим это уравнение:
[ 10x = -15 ]
[ x = -1.5 ]
Итак, ( x = -1.5 ) — это единственная критическая точка.
Чтобы понять, является ли данная точка минимумом или максимумом, нужно исследовать знак второй производной ( y'' ) или проанализировать поведение первой производной ( y' ) на интервалах до и после критической точки.
Найдем вторую производную:
[ y'' = \frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}(10x + 15) ]
[ y'' = 10 ]
Так как вторая производная ( y'' = 10 > 0 ), она положительна на всей числовой прямой. Это означает, что функция в точке ( x = -1.5 ) имеет минимум, а график функции является ветвями параболы, направленными вверх.
Теперь подставим ( x = -1.5 ) в исходную функцию ( y = 5x^2 + 15x - 1 ), чтобы найти значение функции в этой точке:
[ y = 5(-1.5)^2 + 15(-1.5) - 1 ]
[ y = 5(2.25) + 15(-1.5) - 1 ]
[ y = 11.25 - 22.5 - 1 ]
[ y = -12.25 ]
Функция ( y = 5x^2 + 15x - 1 ) имеет минимум в точке:
[ x = -1.5, \, y = -12.25 ]
Таким образом, экстремум функции — это точка ( (-1.5, -12.25) ).
Чтобы найти экстремумы функции ( y = 5x^2 + 15x - 1 ), нужно найти производную и приравнять её к нулю.
Найдем производную: [ y' = 10x + 15 ]
Приравняем производную к нулю: [ 10x + 15 = 0 ] [ 10x = -15 \implies x = -\frac{3}{2} ]
Найдем второй производной для определения типа экстремума: [ y'' = 10 ] Поскольку ( y'' > 0 ), это минимум.
Таким образом, экстремум функции — минимум в точке ( x = -\frac{3}{2} ).
