Найдите значение выражения a^2-64b^2/a^2 : ab-8b^2/a при a=4, b=-20

Для начала подставим значения переменных a и b в выражение.

a = 4, b = -20

Тогда получим:

a^2 - 64b^2 / a^2 : ab - 8b^2 / a = 4^2 - 64(-20)^2 / 4^2 : 4(-20) - 8*(-20)^2 / 4

Выполним вычисления:

16 - 64400 / 16 : -80 - 8400 / 4 16 - 25600 / 16 : -80 - 3200 / 4 16 - 1600 : -80 - 3200 / 4 16 - 1600 : -80 - 800 16 - 1600 : -880 -1584 : -880 1.8

Таким образом, значение выражения a^2 - 64b^2 / a^2 : ab - 8b^2 / a при a=4, b=-20 равно 1.8.

Для того чтобы найти значение выражения (\frac{a^2 - 64b^2}{a^2} : \frac{ab - 8b^2}{a}) при (a = 4) и (b = -20), сначала упростим само выражение.

1. Упростим выражение (\frac{a^2 - 64b^2}{a^2}):

[ \frac{a^2 - 64b^2}{a^2} ]

Обратим внимание, что (64b^2) можно переписать как ((8b)^2), тогда выражение принимает вид:

[ \frac{a^2 - (8b)^2}{a^2} ]

Теперь применим формулу разности квадратов:

[ a^2 - (8b)^2 = (a - 8b)(a + 8b) ]

Тогда выражение становится:

[ \frac{(a - 8b)(a + 8b)}{a^2} ]

Разделим числитель и знаменатель на (a):

[ \frac{(a - 8b)(a + 8b)}{a^2} = \frac{a - 8b}{a} \cdot \frac{a + 8b}{a} = \left(\frac{a - 8b}{a}\right) \left(\frac{a + 8b}{a}\right) ]

Теперь упростим второе выражение (\frac{ab - 8b^2}{a}):

[ \frac{ab - 8b^2}{a} ]

Разделим каждое слагаемое числителя на (a):

[ \frac{ab}{a} - \frac{8b^2}{a} = b - \frac{8b^2}{a} ]

Теперь мы можем записать исходное выражение как:

[ \left(\frac{a - 8b}{a}\right) \left(\frac{a + 8b}{a}\right) : \left(b - \frac{8b^2}{a}\right) ]

Согласно свойству деления дробей, деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную дробь:

[ \left(\frac{a - 8b}{a} \cdot \frac{a + 8b}{a}\right) \cdot \frac{a}{ab - 8b^2} ]

Упростим выражение:

[ \frac{(a - 8b)(a + 8b)}{a^2} \cdot \frac{a}{ab - 8b^2} ]

Заметим, что числитель (a(ab - 8b^2)) можно переписать как (a(ab - 8b^2)), и упростим:

[ \frac{(a - 8b)(a + 8b)}{a^2} \cdot \frac{a}{ab - 8b^2} = \frac{(a - 8b)(a + 8b)}{a(ab - 8b^2)} ]

Теперь подставим значения (a = 4) и (b = -20):

[ \frac{(4 - 8(-20))(4 + 8(-20))}{4(4(-20) - 8(-20)^2)} ]

Выполним вычисления:

[ 4 - 8(-20) = 4 + 160 = 164 ]

[ 4 + 8(-20) = 4 - 160 = -156 ]

Подставим эти значения в числитель:

[ (164)(-156) ]

Теперь вычислим знаменатель:

[ 4 \times (4(-20) - 8(-20)^2) = 4 \times (4(-20) - 8 \times 400) ]

[ 4 \times (-80 - 3200) = 4 \times (-3280) = -13120 ]

Теперь у нас есть:

[ \frac{(164)(-156)}{-13120} ]

Выполним умножение числителя:

[ 164 \times -156 = -25584 ]

Таким образом, выражение становится:

[ \frac{-25584}{-13120} ]

Сократим дробь, найдя наибольший общий делитель числителя и знаменателя:

[ \frac{25584}{13120} = \frac{6396}{3280} = \frac{1599}{820} ]

Это можно ещё упростить до:

[ \frac{1599}{820} = \frac{1599 \div 41}{820 \div 41} = \frac{39}{20} ]

Таким образом, значение выражения при (a = 4) и (b = -20) равно:

[ \frac{39}{20} = 1.95 ]

Ответ: 1.95.