Найдите значение выражения 2-4sin в квадрате x, если cosx = 3/4

Для решения задачи нам нужно найти значение выражения ( 2 - 4 \sin^2 x ), зная, что ( \cos x = \frac{3}{4} ).

Сначала воспользуемся основной тригонометрической единицей, которая утверждает, что для любого угла ( x ) выполняется равенство:

[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ]

Подставим известное значение ( \cos x ):

[ \sin^2 x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 ]

Вычислим квадрат косинуса:

[ \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} ]

Теперь подставим это значение в уравнение:

[ \sin^2 x + \frac{9}{16} = 1 ]

Чтобы найти ( \sin^2 x ), вычтем ( \frac{9}{16} ) из 1:

[ \sin^2 x = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} ]

Теперь мы нашли ( \sin^2 x ). Подставим это значение в выражение ( 2 - 4 \sin^2 x ):

[ 2 - 4 \sin^2 x = 2 - 4 \cdot \frac{7}{16} ]

Вычислим ( 4 \cdot \frac{7}{16} ):

[ 4 \cdot \frac{7}{16} = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} ]

Теперь подставим это значение в выражение:

[ 2 - \frac{7}{4} ]

Приведем 2 к общему знаменателю 4:

[ 2 = \frac{8}{4} ]

Теперь можем вычесть:

[ \frac{8}{4} - \frac{7}{4} = \frac{8 - 7}{4} = \frac{1}{4} ]

Таким образом, значение выражения ( 2 - 4 \sin^2 x ) равно:

[ \frac{1}{4} ]

Для решения задачи, воспользуемся тригонометрическими тождествами. Дано, что (\cos x = \frac{3}{4}). Нам нужно найти значение выражения:

[ 2 - 4\sin^2 x ]

Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество

Основное тригонометрическое тождество гласит:

[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ]

Подставим значение (\cos x = \frac{3}{4}) в это тождество, чтобы найти (\sin^2 x):

[ \sin^2 x + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 ]

[ \sin^2 x + \frac{9}{16} = 1 ]

[ \sin^2 x = 1 - \frac{9}{16} ]

Приведем к общему знаменателю:

[ \sin^2 x = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} ]

Таким образом, (\sin^2 x = \frac{7}{16}).

Шаг 2: Подставляем (\sin^2 x) в выражение

Теперь нам нужно найти (2 - 4\sin^2 x). Подставим найденное значение (\sin^2 x = \frac{7}{16}) в это выражение:

[ 2 - 4\sin^2 x = 2 - 4 \cdot \frac{7}{16} ]

Выполним умножение:

[ 4 \cdot \frac{7}{16} = \frac{28}{16} = \frac{7}{4} ]

Теперь подставим это значение:

[ 2 - \frac{7}{4} ]

Приведем к общему знаменателю ((4)):

[ 2 = \frac{8}{4} ]

[ \frac{8}{4} - \frac{7}{4} = \frac{1}{4} ]

Итог:

Значение выражения (2 - 4\sin^2 x) равно:

[ \boxed{\frac{1}{4}} ]