Найдите значения выражения: ctg 7п/4

Для нахождения значения выражения (\cot\left(\frac{7\pi}{4}\right)), необходимо понимать, что такое котангенс и как он связан с тригонометрическим кругом.

Котангенс угла (\theta) определяется как отношение косинуса к синусу:

[ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} ]

Теперь найдём (\cot\left(\frac{7\pi}{4}\right)).

1. Определите угол на тригонометрическом круге:

   Угол (\frac{7\pi}{4}) находится в четвёртой четверти. Это можно понять так: (\frac{7\pi}{4}) больше, чем (2\pi) (или (360^\circ)), поэтому можно преобразовать его в эквивалентный угол в пределах от (0) до (2\pi):

   [ \frac{7\pi}{4} - 2\pi = \frac{7\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} ]

   Но так как угол (-\frac{\pi}{4}) равен (\frac{7\pi}{4}) и находится в четвёртой четверти, то его положительное значение в пределах от (0) до (2\pi) будет (\frac{7\pi}{4}).

2. Найдите косинус и синус угла:

   Угол (\frac{7\pi}{4}) эквивалентен углу (-\frac{\pi}{4}), и его тригонометрические функции равны косинусу и синусу угла (\frac{\pi}{4}), но с учётом знаков, характерных для четвёртой четверти.

   • (\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2})
   • (\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2})

3. Подставьте значения в формулу котангенса:

   [ \cot\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)}{\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 ]

Таким образом, значение (\cot\left(\frac{7\pi}{4}\right)) равно (-1).

Для того чтобы найти значение тангенса угла 7π/4, нам нужно сначала найти котангенс этого угла. Котангенс угла α равен 1/tan(α), поэтому ctg(7π/4) = 1/tan(7π/4). Угол 7π/4 находится во втором квадранте, где тангенс отрицателен. Таким образом, tan(7π/4) = -1. Следовательно, ctg(7π/4) = 1/(-1) = -1.

Итак, значение выражения ctg(7π/4) равно -1.