Найдите значения корня Корень (-5) в 4 степени=? Корень (-11) во второй степени=?

Корень (-5) в 4 степени равен -1, так как (-1)^4 = 1, а корень четной степени из отрицательного числа равен отрицательному числу.

Корень (-11) во второй степени равен √(-11) = i√11, где i - мнимая единица.

Чтобы найти значения корней указанных чисел, давайте разберемся с каждым примером отдельно.

Корень (-5) в 4 степени

Когда вы видите выражение "Корень (-5) в 4 степени", это можно интерпретировать как (\sqrt[4]{-5}). Мы ищем четвертый корень из числа -5. Важно отметить, что четная степень корня отрицательного числа в действительных числах не имеет решения, так как любое число, возведенное в четную степень, дает положительное значение.

Однако, если рассматривать это в контексте комплексных чисел, то существует несколько решений. Основной метод для нахождения корней из отрицательных чисел в комплексной плоскости заключается в использовании формулы Де Муавра.

1. Представим -5 в тригонометрической форме:

   • -5 можно записать как (5 \cdot (\cos(\pi) + i \sin(\pi))).

2. Применим формулу Де Муавра для нахождения корня:

   • Формула для нахождения (n)-ого корня из комплексного числа (z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta))) выглядит так: [ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot \left( \cos \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) + i \sin \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) \right) ] где (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1).

3. В нашем случае (n = 4), (r = 5), и (\theta = \pi): [ \sqrt[4]{-5} = \sqrt[4]{5} \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) \right) ]

4. Подставим значения (k = 0, 1, 2, 3) для нахождения всех корней: [ k = 0: \sqrt[4]{-5} = \sqrt[4]{5} \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) ] [ k = 1: \sqrt[4]{-5} = \sqrt[4]{5} \cdot \left( \cos \left( \frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) \right) ] [ k = 2: \sqrt[4]{-5} = \sqrt[4]{5} \cdot \left( \cos \left( \frac{5\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{5\pi}{4} \right) \right) ] [ k = 3: \sqrt[4]{-5} = \sqrt[4]{5} \cdot \left( \cos \left( \frac{7\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{7\pi}{4} \right) \right) ]

Корень (-11) во второй степени

Когда вы видите выражение "Корень (-11) во второй степени", это можно интерпретировать как (\sqrt{(-11)^2}). Здесь важно учитывать следующее:

1. ((-11)^2) означает возведение -11 в квадрат: [ (-11)^2 = (-11) \cdot (-11) = 121 ]

2. Теперь находим квадратный корень из 121: [ \sqrt{121} = 11 ]

Следовательно, квадратный корень из числа, возведенного в квадрат, даст его абсолютное значение, то есть: [ \sqrt{(-11)^2} = 11 ]

Итоги

1. ( \sqrt[4]{-5} ) имеет 4 комплексных решения:

   • ( \sqrt[4]{5} \cdot \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \right) )
   • ( \sqrt[4]{5} \cdot \left( \cos \left( \frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) \right) )
   • ( \sqrt[4]{5} \cdot \left( \cos \left( \frac{5\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{5\pi}{4} \right) \right) )
   • ( \sqrt[4]{5} \cdot \left( \cos \left( \frac{7\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{7\pi}{4} \right) \right) )

2. ( \sqrt{(-11)^2} = 11 )