Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если: Sin a = √2/3, 0

Как известно, синус угла a равен отношению противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Поэтому, если sin a = √2/3, то противолежащий катет равен √2, а гипотенуза равна 3. Теперь мы можем найти значения других тригонометрических функций угла a.

cos a = adjacent / hypotenuse = √(3^2 - √2^2) / 3 = √(9 - 2) / 3 = √7 / 3

tan a = opposite / adjacent = √2 / √7 = √14 / 7

csc a = 1 / sin a = 1 / (√2/3) = 3 / √2 = 3√2 / 2

sec a = 1 / cos a = 1 / (√7/3) = 3 / √7 = 3√7 / 7

cot a = 1 / tan a = 1 / (√14/7) = 7 / √14 = 7√14 / 14

Таким образом, мы нашли значения остальных трех основных тригонометрических функций угла a, зная значение sin a.

Для того чтобы найти значения других тригонометрических функций, таких как косинус (cos), тангенс (tan), котангенс (cot), секанс (sec) и косеканс (csc), зная значение синуса (sin), нужно использовать основные тригонометрические тождества и свойства.

Дано: (\sin a = \frac{\sqrt{2}}{3}).

1. Косинус (cos a):

Для нахождения косинуса используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

Подставим известное значение синуса: [ \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \cos^2 a = 1 ] [ \frac{2}{9} + \cos^2 a = 1 ] [ \cos^2 a = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} ]

Таким образом, (\cos a = \pm \sqrt{\frac{7}{9}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}).

Знак косинуса зависит от квадранта, в котором находится угол (a). Так как условие (0 < a < \frac{\pi}{2}) в задаче не задано, будем предполагать, что угол находится в первой четверти, где все тригонометрические функции положительны. Следовательно: [ \cos a = \frac{\sqrt{7}}{3} ]

1. Тангенс (tan a):

Тангенс угла определяется как отношение синуса к косинусу: [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{7} ]

1. Котангенс (cot a):

Котангенс - обратная функция тангенса: [ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2} ]

1. Секанс (sec a):

Секанс является обратной функцией косинуса: [ \sec a = \frac{1}{\cos a} = \frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7} ]

1. Косеканс (csc a):

Косеканс - обратная функция синуса: [ \csc a = \frac{1}{\sin a} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} ]

Таким образом, значения тригонометрических функций для угла (a) следующие:

• (\cos a = \frac{\sqrt{7}}{3})
• (\tan a = \frac{\sqrt{14}}{7})
• (\cot a = \frac{\sqrt{14}}{2})
• (\sec a = \frac{3\sqrt{7}}{7})
• (\csc a = \frac{3\sqrt{2}}{2})