Найдите все значения x, при которых значения выражений в данном порядке 3x-5; 2x; 3x являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии
Найдите все значения x, при которых значения выражений в данном порядке 3x-5; 2x; 3x являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии
Для того чтобы найти все значения ( x ), при которых выражения ( 3x - 5 ), ( 2x ) и ( 3x ) являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, будем использовать определение геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии отношение любого члена к предыдущему всегда одинаковое.
Пусть ( a ), ( b ) и ( c ) — три последовательных члена геометрической прогрессии. Тогда должно выполняться следующее соотношение: [ \frac{b}{a} = \frac{c}{b} ]
В нашем случае: [ a = 3x - 5 ] [ b = 2x ] [ c = 3x ]
Подставим эти значения в соотношение: [ \frac{2x}{3x - 5} = \frac{3x}{2x} ]
Теперь решим это уравнение. Сначала упростим правую часть: [ \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2} ]
Таким образом, уравнение становится: [ \frac{2x}{3x - 5} = \frac{3}{2} ]
Чтобы решить это уравнение, произведем перекрестное умножение: [ 2 \cdot 2x = 3 \cdot (3x - 5) ] [ 4x = 9x - 15 ]
Теперь перенесем все члены с ( x ) на одну сторону уравнения: [ 4x - 9x = -15 ] [ -5x = -15 ]
Разделим обе части уравнения на -5: [ x = 3 ]
Итак, ( x = 3 ) — это единственное значение, при котором выражения ( 3x - 5 ), ( 2x ) и ( 3x ) образуют геометрическую прогрессию.
Проверим это значение, подставив его в исходные выражения: [ 3x - 5 = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4 ] [ 2x = 2(3) = 6 ] [ 3x = 3(3) = 9 ]
Теперь проверим, является ли последовательность ( 4 ), ( 6 ), ( 9 ) геометрической прогрессией: [ \frac{6}{4} = \frac{3}{2} ] [ \frac{9}{6} = \frac{3}{2} ]
Так как оба отношения равны, последовательность действительно является геометрической прогрессией.
Таким образом, значение ( x = 3 ) — это единственное значение, при котором выражения ( 3x - 5 ), ( 2x ) и ( 3x ) являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Для того чтобы значения выражений 3x-5, 2x и 3x были тремя последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы отношение любого члена к предыдущему было постоянным.
Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:
(2x) / (3x - 5) = (3x) / (2x)
Упростим это уравнение:
2x(2x) = (3x - 5)(3x)
4x^2 = 9x^2 - 15x
5x^2 - 15x = 0
x(5x - 15) = 0
x = 0 или x = 3
Таким образом, значения x, при которых значения выражений 3x-5, 2x и 3x являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, равны 0 и 3.
