Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x^2-8x=2*модуль (x-a) -16 имеет ровно три различных...

Для того чтобы уравнение x^2 - 8x = 2|x - a| - 16 имело ровно три различных решения, необходимо чтобы графики функций y = x^2 - 8x и y = 2|x - a| - 16 пересекались в трех различных точках.

Первое уравнение y = x^2 - 8x представляет собой параболу, а второе уравнение y = 2*|x - a| - 16 является модульной функцией. Построим графики этих функций и найдем значения параметра a, при которых они пересекаются в трех точках.

Для начала рассмотрим параболу y = x^2 - 8x. Для того чтобы она имела три различных корня, дискриминант должен быть больше нуля: D = b^2 - 4ac = 64 - 410 = 64 > 0. Таким образом, парабола имеет два корня и вершину.

Теперь построим график модульной функции y = 2*|x - a| - 16. Поскольку модульная функция является кусочно-заданной, то для анализа пересечения с параболой рассмотрим два случая:

1. Если x >= a, то y = 2*(x - a) - 16. Приравниваем это выражение к параболе x^2 - 8x и решаем уравнение.
2. Если x < a, то y = 2*(-(x - a)) - 16 = 2a - 2x - 16. Приравниваем это выражение к параболе и решаем уравнение.

Из анализа графиков найдем значения параметра a, при которых уравнение x^2 - 8x = 2*|x - a| - 16 имеет ровно три различных решения.

a=5, a=3

Чтобы решить уравнение (x^2 - 8x = 2|x-a| - 16) и найти все значения (a), при которых уравнение имеет ровно три различных решения, рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения внутри модуля.

Случай 1: (x \ge a)

В этом случае модуль раскрывается как ( |x-a| = x-a ). Уравнение становится:

[ x^2 - 8x = 2(x-a) - 16. ]

Упростим его:

[ x^2 - 8x = 2x - 2a - 16. ]

Перенесём все члены влево:

[ x^2 - 10x + 2a + 16 = 0. ]

Это квадратное уравнение, которое мы обозначим как (1).

Случай 2: (x < a)

В этом случае модуль раскрывается как ( |x-a| = a-x ). Уравнение становится:

[ x^2 - 8x = 2(a-x) - 16. ]

Упростим его:

[ x^2 - 8x = 2a - 2x - 16. ]

Перенесём все члены влево:

[ x^2 - 6x - 2a + 16 = 0. ]

Это квадратное уравнение, которое мы обозначим как (2).

Требование: Три различных решения

Для того чтобы уравнение имело ровно три различных решения, одно из квадратных уравнений должно иметь два различных корня, а другое — один корень, совпадающий с одним из корней первого уравнения (или, оба уравнения имеют один общий корень и одно из них имеет ещё один различный корень).

Анализ дискриминантов

Для уравнения (1): (x^2 - 10x + (2a + 16) = 0)

Дискриминант: [ D_1 = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a + 16) = 100 - 8a - 64 = 36 - 8a. ]

Для уравнения (2): (x^2 - 6x - (2a - 16) = 0)

Дискриминант: [ D_2 = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a + 16) = 36 + 8a - 64 = 8a - 28. ]

Условие на дискриминанты

Чтобы одно из уравнений имело два корня, а другое один, необходимо:

1. (D_1 > 0) и (D_2 = 0) или
2. (D_1 = 0) и (D_2 > 0).

Рассмотрим первый случай:

1. (D_1 > 0): (36 - 8a > 0 \Rightarrow a < 4.5.)
2. (D_2 = 0): (8a - 28 = 0 \Rightarrow a = 3.5.)

Так как (a = 3.5) удовлетворяет (a < 4.5), это подходящее значение.

Рассмотрим второй случай:

1. (D_1 = 0): (36 - 8a = 0 \Rightarrow a = 4.5.)
2. (D_2 > 0): (8a - 28 > 0 \Rightarrow a > 3.5.)

Так как (a = 4.5) удовлетворяет (a > 3.5), это подходящее значение.

Ответ

Уравнение имеет ровно три различных решения при (a = 3.5) и (a = 4.5).