Найдите все такие натуральные числа n при которых выражение 7n+12/n является натуральным числом

Для того чтобы выяснить, при каких натуральных числах ( n ) выражение ( \frac{7n + 12}{n} ) является натуральным числом, начнем с упрощения этого выражения:

[ \frac{7n + 12}{n} = \frac{7n}{n} + \frac{12}{n} = 7 + \frac{12}{n} ]

Чтобы ( 7 + \frac{12}{n} ) было натуральным числом, необходимо, чтобы ( \frac{12}{n} ) также было натуральным числом. Это возможно только в случае, если ( n ) является делителем числа 12.

Теперь найдем все натуральные делители числа 12. Делителями 12 являются:

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 6
6. 12

Теперь проверим каждое из этих значений ( n ):

1. ( n = 1 ): [ 7 + \frac{12}{1} = 7 + 12 = 19 \quad (\text{натуральное число}) ]

2. ( n = 2 ): [ 7 + \frac{12}{2} = 7 + 6 = 13 \quad (\text{натуральное число}) ]

3. ( n = 3 ): [ 7 + \frac{12}{3} = 7 + 4 = 11 \quad (\text{натуральное число}) ]

4. ( n = 4 ): [ 7 + \frac{12}{4} = 7 + 3 = 10 \quad (\text{натуральное число}) ]

5. ( n = 6 ): [ 7 + \frac{12}{6} = 7 + 2 = 9 \quad (\text{натуральное число}) ]

6. ( n = 12 ): [ 7 + \frac{12}{12} = 7 + 1 = 8 \quad (\text{натуральное число}) ]

Таким образом, для всех натуральных делителей 12 значение ( \frac{7n + 12}{n} ) оказывается натуральным числом.

Итак, все натуральные числа ( n ), при которых выражение ( \frac{7n + 12}{n} ) является натуральным числом, это:

[ {1, 2, 3, 4, 6, 12} ]

Для того чтобы найти все натуральные числа ( n ), при которых выражение

[ \frac{7n + 12}{n} ]

является натуральным числом, рассмотрим задачу шаг за шагом:

1. Условие задачи

Выражение ( \frac{7n + 12}{n} ) должно быть натуральным числом. Это означает, что результат деления ( \frac{7n + 12}{n} ) — целое положительное число.

Разделим числитель на знаменатель:

[ \frac{7n + 12}{n} = 7 + \frac{12}{n}. ]

Чтобы сумма ( 7 + \frac{12}{n} ) была натуральным числом, дробь ( \frac{12}{n} ) также должна быть натуральным числом. Это возможно только в том случае, если ( n ) является делителем числа 12.

2. Делители числа 12

Найдем все натуральные делители числа 12. Это числа, на которые 12 делится без остатка:

[ 1, 2, 3, 4, 6, 12. ]

Таким образом, возможные значения ( n ) — это ( n = 1, 2, 3, 4, 6, 12 ).

3. Проверка каждого значения ( n )

Теперь подставим каждое значение ( n ) в выражение ( \frac{7n + 12}{n} ) и проверим, является ли результат натуральным числом:

1. Для ( n = 1 ): [ \frac{7 \cdot 1 + 12}{1} = \frac{7 + 12}{1} = 19. ] Это натуральное число.

2. Для ( n = 2 ): [ \frac{7 \cdot 2 + 12}{2} = \frac{14 + 12}{2} = \frac{26}{2} = 13. ] Это натуральное число.

3. Для ( n = 3 ): [ \frac{7 \cdot 3 + 12}{3} = \frac{21 + 12}{3} = \frac{33}{3} = 11. ] Это натуральное число.

4. Для ( n = 4 ): [ \frac{7 \cdot 4 + 12}{4} = \frac{28 + 12}{4} = \frac{40}{4} = 10. ] Это натуральное число.

5. Для ( n = 6 ): [ \frac{7 \cdot 6 + 12}{6} = \frac{42 + 12}{6} = \frac{54}{6} = 9. ] Это натуральное число.

6. Для ( n = 12 ): [ \frac{7 \cdot 12 + 12}{12} = \frac{84 + 12}{12} = \frac{96}{12} = 8. ] Это натуральное число.

4. Ответ

Все проверенные значения ( n ) дают натуральные значения выражения ( \frac{7n + 12}{n} ). Следовательно, все такие ( n ) равны:

[ \boxed{1, 2, 3, 4, 6, 12}. ]