Найдите все такие натуральные числа a∈N, что (2a+1)/(a−2) — целое число. В ответ запишите произведение...

Ответ: 15.

Для того чтобы (\frac{2a+1}{a-2}) было целым числом, числитель должен делиться на знаменатель без остатка. Обозначим это целое число за (k), тогда:

[ \frac{2a+1}{a-2} = k ]

Отсюда:

[ 2a + 1 = k(a - 2) ]

Раскроем скобки:

[ 2a + 1 = ka - 2k ]

Перенесем все слагаемые, содержащие (a), в одну часть уравнения, а свободные члены — в другую:

[ 2a - ka = -2k - 1 ]

Выразим (a):

[ a(2 - k) = -2k - 1 ]

Отсюда:

[ a = \frac{-2k - 1}{2 - k} ]

Поскольку (a) является натуральным числом, числитель (-2k - 1) должен делиться на (2-k) без остатка. Рассмотрим это условие подробнее. Обозначим (m = 2 - k), тогда (k = 2 - m), и уравнение для (a) перепишется как:

[ a = \frac{-2(2-m) - 1}{m} = \frac{-4 + 2m - 1}{m} = \frac{2m - 5}{m} ]

Для того чтобы (a) было натуральным числом, выражение (\frac{2m - 5}{m}) должно быть натуральным. Это возможно, если (2m - 5) делится на (m) без остатка:

[ 2m - 5 = nm ]

где (n) — некоторое целое число. Решим уравнение:

[ 2m - 5 = nm \implies 2m - nm = 5 \implies m(2 - n) = 5 ]

Теперь найдем все натуральные значения (m), при которых (m(2-n) = 5).

Разложим 5:

1. (m = 1), тогда (2 - n = 5 \Rightarrow n = -3). (не подходит)
2. (m = 5), тогда (2 - n = 1 \Rightarrow n = 1).

Поскольку (m = 5) является единственным подходящим натуральным числом, подставим его в выражение для (a):

[ a = \frac{2 \times 5 - 5}{5} = \frac{10 - 5}{5} = 1 ]

Таким образом, (a = 5).

Проверим, является ли это значение допустимым. Подставим (a = 5) в исходное уравнение:

[ \frac{2 \times 5 + 1}{5 - 2} = \frac{10 + 1}{3} = \frac{11}{3} ]

Видно, что значение не целое, следовательно, допущена ошибка в рассуждениях.

Исправим её: вернёмся к уравнению:

[ a(2 - k) = -2k - 1 ]

и проверим (k = 3):

[ a(2 - 3) = -2 \times 3 - 1 \Rightarrow a(-1) = -7 \Rightarrow a = 7 ]

Теперь проверим корректность:

[ \frac{2 \times 7 + 1}{7 - 2} = \frac{14 + 1}{5} = \frac{15}{5} = 3 ]

Таким образом, (a = 7) удовлетворяет условию. Произведение единственного числа равно 7. Ответ:

[ \boxed{7} ]

Для того чтобы найти все натуральные числа a, удовлетворяющие условию (2a+1)/(a-2) — целое число, нужно рассмотреть различные варианты значений a.

Для начала разложим дробь (2a+1)/(a-2) на целую часть и дробную часть. Получим:

(2a + 1) / (a - 2) = 2 + 5 / (a - 2)

Таким образом, остаток от деления 5 на (a-2) должен быть равен 0, чтобы дробь была целым числом. Поскольку 5 - это простое число, значит a - 2 должно быть равно 1 или 5.

Таким образом, получаем два возможных случая: 1) a - 2 = 1 => a = 3 2) a - 2 = 5 => a = 7

Произведение этих чисел: 3 * 7 = 21.

Итак, все натуральные числа a, удовлетворяющие условию, равны 3 и 7, а их произведение равно 21.