Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)= -x^2-4x+2 в точке с абсциссой x0= -1
Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)= -x^2-4x+2 в точке с абсциссой x0= -1
Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( f(x) = -x^2 - 4x + 2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = -1 ), следуйте следующим шагам:
Найдите значение функции в точке ( x_0 ):
Подставьте ( x_0 = -1 ) в функцию ( f(x) ): [ f(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) + 2 = -1 + 4 + 2 = 5 ] Таким образом, точка касания на графике функции имеет координаты ( (-1, 5) ).
Найдите производную функции ( f(x) ):
Производная функции ( f(x) = -x^2 - 4x + 2 ) по ( x ) равна: [ f'(x) = \frac{d}{dx} (-x^2 - 4x + 2) = -2x - 4 ]
Найдите значение производной в точке ( x_0 ):
Подставьте ( x_0 = -1 ) в производную ( f'(x) ): [ f'(-1) = -2(-1) - 4 = 2 - 4 = -2 ] Таким образом, угловой коэффициент касательной равен ( -2 ).
Составьте уравнение касательной:
Уравнение касательной к графику функции в точке ( (x_0, y_0) ) с угловым коэффициентом ( f'(x_0) ) имеет вид: [ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) ] Подставьте найденные значения ( x_0 = -1 ), ( y_0 = 5 ) и ( f'(x_0) = -2 ): [ y - 5 = -2(x + 1) ] Упростите это уравнение: [ y - 5 = -2x - 2 ] [ y = -2x + 3 ]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( f(x) = -x^2 - 4x + 2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = -1 ) имеет вид: [ y = -2x + 3 ]
Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нам нужно найти производную функции и подставить значение абсциссы заданной точки в эту производную.
Дано: f(x) = -x^2 - 4x + 2 Производная функции f'(x) = -2x - 4
Теперь найдем значение производной в точке x0 = -1: f'(-1) = -2(-1) - 4 f'(-1) = 2 - 4 f'(-1) = -2
Таким образом, значение производной в точке x0 = -1 равно -2. Это значение является угловым коэффициентом касательной к графику функции в этой точке.
Уравнение касательной имеет вид y = kx + b, где k - угловой коэффициент, а b - свободный член. Подставим найденное значение углового коэффициента и координаты точки (-1, f(-1)) в уравнение:
f(-1) = -(-1)^2 - 4*(-1) + 2 f(-1) = -1 + 4 + 2 f(-1) = 5
Точка касания: (-1, 5)
Теперь подставим значения (-1, 5) и -2 в уравнение касательной: 5 = -2*(-1) + b 5 = 2 + b b = 3
Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = -x^2 - 4x + 2 в точке с абсциссой x0 = -1: y = -2x + 3
