Найдите ту первообразную F(x) для функции F(x)= 3x^2+4x, график которой проходит через точку А (1;5)

Для нахождения первообразной функции F(x) = 3x^2 + 4x, проходящей через точку A(1;5), мы должны найти функцию F(x), производная которой равна данной функции.

Итак, первообразная функция F(x) будет иметь вид F(x) = x^3 + 2x^2 + C, где C - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти значение постоянной С, мы можем использовать условие, что наша функция проходит через точку A(1;5). Подставляя значение x=1 и y=5 в уравнение, получаем:

5 = 1^3 + 2*1^2 + C 5 = 1 + 2 + C C = 2

Итак, искомая первообразная функция будет F(x) = x^3 + 2x^2 + 2.

Для нахождения первообразной функции ( F(x) = 3x^2 + 4x ), нам нужно вычислить неопределенный интеграл данной функции. Первообразная функции ( f(x) ) это функция ( F(x) ), такая что ( F'(x) = f(x) ).

Интегрируем функцию ( 3x^2 + 4x ):

[ \int (3x^2 + 4x) \, dx = 3 \int x^2 \, dx + 4 \int x \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 + 2x^2 + C, ]

где ( C ) — константа интегрирования.

Теперь нам нужно найти значение константы ( C ), используя информацию о том, что график проходит через точку ( A(1; 5) ). Подставляем ( x = 1 ) и ( F(1) = 5 ) в уравнение:

[ F(1) = 1^3 + 2 \cdot 1^2 + C = 1 + 2 + C = 5. ]

Отсюда находим ( C ):

[ 3 + C = 5 ] [ C = 5 - 3 ] [ C = 2. ]

Таким образом, первообразная функция, удовлетворяющая условию прохождения через точку ( A(1; 5) ), имеет вид:

[ F(x) = x^3 + 2x^2 + 2. ]

Такова искомая первообразная функция.