Найдите точку минимума функции y=(x+8)e в степени x-8

Для нахождения точки минимума функции ( y = (x+8)e^{x-8} ) необходимо выполнить несколько шагов: найти производную функции, найти критические точки (то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует), и определить, является ли эта точка точкой минимума.

1. Нахождение производной функции:

   Функция задана как ( y = (x+8)e^{x-8} ). Применим правило дифференцирования произведения (производная произведения функций ( uv ) равна ( u'v + uv' )):

   Пусть ( u = x + 8 ) и ( v = e^{x-8} ).

   Тогда ( u' = 1 ) и ( v' = e^{x-8} \cdot 1 = e^{x-8} ) (используя правило дифференцирования экспоненциальной функции).

   Таким образом, ( y' = u'v + uv' = 1 \cdot e^{x-8} + (x+8)e^{x-8} = (x+9)e^{x-8} ).

2. Нахождение критических точек:

   Найдем, когда ( y' = 0 ):

   ( (x+9)e^{x-8} = 0 )

   Экспоненциальная функция ( e^{x-8} ) всегда положительна. Поэтому уравнение равно нулю, когда ( x+9 = 0 ), откуда ( x = -9 ).

3. Определение характера критической точки:

   Необходимо проверить, действительно ли ( x = -9 ) является точкой минимума. Одним из способов является использование второй производной:

   ( y'' = \frac{d}{dx}[(x+9)e^{x-8}] = \frac{d}{dx}[x+9] \cdot e^{x-8} + (x+9) \cdot e^{x-8} = 1 \cdot e^{x-8} + (x+9)e^{x-8} = (x+10)e^{x-8} ).

   Подставим ( x = -9 ) во вторую производную:

   ( y''(-9) = (-9+10)e^{-9-8} = 1 \cdot e^{-17} ).

   Поскольку ( e^{-17} > 0 ), то ( y''(-9) > 0 ), что говорит о том, что в точке ( x = -9 ) функция имеет минимум.

Таким образом, точка минимума функции ( y = (x+8)e^{x-8} ) находится в точке ( x = -9 ).

Для нахождения точки минимума функции y=(x+8)e^(x-8) необходимо найти производную этой функции и приравнять ее к нулю.

Сначала найдем производную функции y=(x+8)e^(x-8) с помощью правила производной произведения функций:

y' = (x+8)(e^(x-8))' + e^(x-8)(x+8)'

Рассчитаем производные от компонентов выражения:

(e^(x-8))' = e^(x-8) (x+8)' = 1

Подставляем значения обратно в выражение для производной:

y' = (x+8)e^(x-8) + e^(x-8)

Теперь приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

(x+8)e^(x-8) + e^(x-8) = 0

e^(x-8)((x+8)+1) = 0

e^(x-8)(x+9) = 0

Так как экспоненциальная функция никогда не равна нулю, решением уравнения будет x+9=0, откуда x=-9.

Таким образом, точка минимума функции y=(x+8)e^(x-8) будет при x=-9.