Найдите точку максимума функции у=7-0,5x-2/x^2. ПОМАГИТЕ! СРОЧНО НУЖНА ВАША ПОМОЩЬ!

Чтобы найти точку максимума функции ( y = 7 - 0.5x - \frac{2}{x^2} ), нам нужно выполнить несколько шагов: найти производную функции, определить критические точки и провести анализ.

1. Найдем производную функции:

Используем правила дифференцирования. Для функции ( y = 7 - 0.5x - \frac{2}{x^2} ):

[ y' = -0.5 + \frac{4}{x^3} ]

(производная ( -\frac{2}{x^2} ) равна ( \frac{4}{x^3} ) по правилу дифференцирования дробей).

1. Найдем критические точки:

Критические точки находятся при равенстве производной нулю:

[ -0.5 + \frac{4}{x^3} = 0 ]

Перепишем уравнение:

[ \frac{4}{x^3} = 0.5 ]

Умножим обе стороны на ( x^3 ):

[ 4 = 0.5x^3 ]

Умножим обе стороны на 2:

[ 8 = x^3 ]

Теперь извлечем кубический корень:

[ x = 2 ]

1. Проверим, является ли эта точка максимумом:

Для этого нужно исследовать знак производной в окрестности найденной критической точки или использовать вторую производную.

Найдем вторую производную:

[ y'' = -\frac{12}{x^4} ]

Теперь подставим ( x = 2 ):

[ y''(2) = -\frac{12}{2^4} = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4} ]

Так как вторая производная отрицательна, это указывает на то, что функция имеет максимум в точке ( x = 2 ).

1. Найдем значение функции в точке максимума:

Теперь подставим ( x = 2 ) в исходную функцию:

[ y(2) = 7 - 0.5 \cdot 2 - \frac{2}{2^2} = 7 - 1 - \frac{2}{4} = 7 - 1 - 0.5 = 5.5 ]

1. Ответ:

Таким образом, точка максимума функции ( y = 7 - 0.5x - \frac{2}{x^2} ) находится в точке ( (2, 5.5) ).

Хорошо, давайте разберем задачу подробно и шаг за шагом найдем точку максимума функции ( y = 7 - 0.5x - \frac{2}{x^2} ).

Шаг 1. Найдем производную функции

Для поиска точек максимума и минимума функции сначала нужно найти её производную ( y'(x) ). Функция ( y(x) ) состоит из трех слагаемых: ( 7 ), ( -0.5x ) и ( -\frac{2}{x^2} ). Рассмотрим каждое слагаемое:

1. Производная от постоянного числа ( 7 ) равна ( 0 ).
2. Производная от ( -0.5x ) равна ( -0.5 ).
3. Производная от ( -\frac{2}{x^2} ) равна ( \frac{4}{x^3} ) (здесь мы использовали правило дифференцирования степенной функции).

Итак, производная функции: [ y'(x) = -0.5 + \frac{4}{x^3}. ]

Шаг 2. Найдем критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю: [ -0.5 + \frac{4}{x^3} = 0. ]

Решаем это уравнение: [ \frac{4}{x^3} = 0.5. ]

Умножим обе части на ( x^3 ) (при ( x \neq 0 )): [ 4 = 0.5x^3. ]

Разделим обе части на ( 0.5 ): [ x^3 = 8. ]

Теперь найдём ( x ), извлекая кубический корень: [ x = \sqrt[3]{8} = 2. ]

Шаг 3. Проверим наличие экстремума

Чтобы понять, является ли точка ( x = 2 ) точкой максимума или минимума, мы можем воспользоваться вторым способом — исследовать знак первой производной ( y'(x) ) слева и справа от точки ( x = 2 ).

1. Если ( y'(x) ) меняет знак с плюса на минус, это точка максимума.
2. Если ( y'(x) ) меняет знак с минуса на плюс, это точка минимума.

Подставим значения ( x ), близкие к ( 2 ), в производную ( y'(x) = -0.5 + \frac{4}{x^3} ):

• Для ( x = 1.5 ): [ y'(1.5) = -0.5 + \frac{4}{(1.5)^3} = -0.5 + \frac{4}{3.375} \approx -0.5 + 1.185 = 0.685 > 0. ] Знак положительный.

• Для ( x = 2.5 ): [ y'(2.5) = -0.5 + \frac{4}{(2.5)^3} = -0.5 + \frac{4}{15.625} \approx -0.5 + 0.256 = -0.244 < 0. ] Знак отрицательный.

Поскольку производная меняет знак с плюса на минус при переходе через ( x = 2 ), точка ( x = 2 ) является точкой максимума.

Шаг 4. Найдём значение функции в точке максимума

Подставим ( x = 2 ) в исходную функцию ( y(x) = 7 - 0.5x - \frac{2}{x^2} ): [ y(2) = 7 - 0.5(2) - \frac{2}{2^2}. ]

Выполним расчёты: [ y(2) = 7 - 1 - \frac{2}{4}. ] [ y(2) = 7 - 1 - 0.5 = 5.5. ]

Ответ

Точка максимума функции ( y = 7 - 0.5x - \frac{2}{x^2} ) находится при ( x = 2 ). Значение функции в этой точке равно ( y(2) = 5.5 ).