Найдите tg²α, если 5sin²α+13cos²α=6

Для начала преобразуем данное равенство, используя тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $5\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 6$ $5(1 - \cos^2\alpha) + 13\cos^2\alpha = 6$ $5 - 5\cos^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 6$ $8\cos^2\alpha = 1$ $\cos^2\alpha = \frac{1}{8}$ $\cos\alpha = \pm\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Так как тангенс это отношение синуса к косинусу, то: $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\pm\frac{1}{2\sqrt{2}}} = \pm2\sqrt{2}\sin\alpha$

При этом из тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{7}{8}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$

И, наконец, подставляем значения синуса и косинуса в формулу для тангенса: $\tan\alpha = \pm2\sqrt{2}\cdot\left(\pm\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}\right) = \pm\sqrt{7}$

Итак, $tg^2\alpha = 7$.

Давайте решим уравнение (5\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 6) и найдем (\tan^2\alpha).

1. Начнем с основного тригонометрического тождества: [ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1. ]

2. Выразим одно из тригонометрических функций через другое: [ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha. ]

3. Подставим (\sin^2\alpha) в исходное уравнение: [ 5(1 - \cos^2\alpha) + 13\cos^2\alpha = 6. ]

4. Раскроем скобки и упростим уравнение: [ 5 - 5\cos^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 6. ]

5. Объединим подобные члены: [ 5 + 8\cos^2\alpha = 6. ]

6. Решим уравнение относительно (\cos^2\alpha): [ 8\cos^2\alpha = 6 - 5, ] [ 8\cos^2\alpha = 1, ] [ \cos^2\alpha = \frac{1}{8}. ]

7. Найдем (\sin^2\alpha) через (\cos^2\alpha): [ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}. ]

8. Теперь найдем (\tan^2\alpha) используя (\tan^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}): [ \tan^2\alpha = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}} = 7. ]

Итак, (\tan^2\alpha = 7).

tg²α = 5/13