Найдите tg²α, если 5sin²α+13cos²α=6

Для начала преобразуем данное равенство, используя тригонометрическое тождество ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$: $5{\sin }^2\alpha +13{\cos }^2\alpha =6$ $5(1-{\cos }^2\alpha )+13{\cos }^2\alpha =6$ $5-5{\cos }^2\alpha +13{\cos }^2\alpha =6$ $8{\cos }^2\alpha =1$ ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{8}$ $\cos \alpha =\pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Так как тангенс это отношение синуса к косинусу, то: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha }{\pm \frac{1}{2\sqrt{2}}}=\pm 2\sqrt{2}\sin \alpha$

При этом из тригонометрического тождества ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$ $\sin \alpha =\pm \sqrt{\frac{7}{8}}=\pm \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$

И, наконец, подставляем значения синуса и косинуса в формулу для тангенса: $\tan \alpha =\pm 2\sqrt{2}\cdot (\pm \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}})=\pm \sqrt{7}$

Итак, $t{g}^2\alpha =7$.

Давайте решим уравнение $5{\sin }^2\alpha +13{\cos }^2\alpha =6$ и найдем ${\tan }^2\alpha$.

1. Начнем с основного тригонометрического тождества: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$

2. Выразим одно из тригонометрических функций через другое: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha .$

3. Подставим ${\sin }^2\alpha$ в исходное уравнение: $5(1-{\cos }^2\alpha )+13{\cos }^2\alpha =6.$

4. Раскроем скобки и упростим уравнение: $5-5{\cos }^2\alpha +13{\cos }^2\alpha =6.$

5. Объединим подобные члены: $5+8{\cos }^2\alpha =6.$

6. Решим уравнение относительно ${\cos }^2\alpha$: $8{\cos }^2\alpha =6-5,$ $8{\cos }^2\alpha =1,$ ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{8}.$

7. Найдем ${\sin }^2\alpha$ через ${\cos }^2\alpha$: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}.$

8. Теперь найдем ${\tan }^2\alpha$ используя ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$: ${\tan }^2\alpha =\frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}}=7.$

Итак, ${\tan }^2\alpha =7$.

tg²α = 5/13