Найдите tg a,если cos a=2/корень из 13 и a принадлежит (1,5П;2П)

tg a = √3

Для начала найдем sin a, используя тождество sin^2 a + cos^2 a = 1: sin^2 a = 1 - cos^2 a sin^2 a = 1 - (2/√13)^2 sin^2 a = 1 - 4/13 sin^2 a = 9/13 sin a = √(9/13) sin a = 3/√13

Теперь найдем tg a, используя соотношение tg a = sin a / cos a: tg a = (3/√13) / (2/√13) tg a = 3/2

Итак, tg a = 3/2.

Давайте разберем задачу пошагово. Нам дано, что (\cos a = \frac{2}{\sqrt{13}}) и (a \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)). Нужно найти (\tan a).

1. Определение синуса через косинус:

   Для нахождения (\tan a), нам нужно знать (\sin a). Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 a + \cos^2 a = 1. ] Подставляем значение (\cos a): [ \sin^2 a + \left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 = 1. ] Упростим выражение: [ \sin^2 a + \frac{4}{13} = 1. ] Переносим (\frac{4}{13}) в правую часть уравнения: [ \sin^2 a = 1 - \frac{4}{13} = \frac{13}{13} - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}. ] Теперь извлекаем квадратный корень: [ \sin a = \pm \sqrt{\frac{9}{13}} = \pm \frac{3}{\sqrt{13}}. ]

2. Определение знака синуса:

   Учитывая, что (a \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)), мы знаем, что угол находится в четвертой четверти. В четвертой четверти синус отрицателен. Поэтому: [ \sin a = -\frac{3}{\sqrt{13}}. ]

3. Нахождение тангенса:

   Теперь мы можем найти (\tan a) через (\sin a) и (\cos a): [ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}. ] Подставляем найденные значения: [ \tan a = \frac{-\frac{3}{\sqrt{13}}}{\frac{2}{\sqrt{13}}} = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}. ]

Таким образом, (\tan a = -\frac{3}{2}).