Найдите сумму первых пятидесяти, ста, n членов последовательности (Xn), если Xn= 4n+2

Сумма первых n членов последовательности (Xn) равна Sn = n(2 + 4n).

Для нахождения суммы первых ( n ) членов последовательности ( (X_n) ), где каждый член последовательности задан формулой ( X_n = 4n + 2 ), можно воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии. Последовательность ( (X_n) ) является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна.

Формула для суммы первых ( n ) членов арифметической прогрессии имеет вид:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) ]

где:

• ( S_n ) — сумма первых ( n ) членов последовательности,
• ( a_1 ) — первый член последовательности,
• ( a_n ) — ( n )-й член последовательности.

Первый член последовательности ( a_1 ) можно найти, подставив ( n = 1 ) в формулу для ( X_n ):

[ a_1 = 4 \cdot 1 + 2 = 6 ]

( n )-й член последовательности ( a_n ) можно выразить как:

[ a_n = 4n + 2 ]

Теперь подставим всё в формулу для суммы:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (6 + (4n + 2)) ]

Упростим выражение:

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (4n + 8) ]

[ S_n = \frac{n}{2} \cdot 4(n + 2) ]

[ S_n = 2n(n + 2) ]

[ S_n = 2n^2 + 4n ]

Теперь найдем суммы для конкретных значений ( n ):

1. Сумма первых пятидесяти членов (( n = 50 )):

[ S_{50} = 2 \cdot 50^2 + 4 \cdot 50 ]

[ S_{50} = 2 \cdot 2500 + 200 ]

[ S_{50} = 5000 + 200 = 5200 ]

1. Сумма первых ста членов (( n = 100 )):

[ S_{100} = 2 \cdot 100^2 + 4 \cdot 100 ]

[ S_{100} = 2 \cdot 10000 + 400 ]

[ S_{100} = 20000 + 400 = 20400 ]

Таким образом, общая формула для нахождения суммы первых ( n ) членов последовательности ( (X_n) ) равна ( S_n = 2n^2 + 4n ), что позволяет вычислить сумму для любых значений ( n ).

Для нахождения суммы первых n членов последовательности (Xn), где Xn = 4n + 2, необходимо использовать формулу для суммы арифметической прогрессии.

Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии: Sn = (n/2)(a1 + an), где n - количество членов, a1 - первый член последовательности, an - n-й член последовательности.

1. Для первых пятидесяти членов (n = 50): a1 = X1 = 41 + 2 = 6 an = X50 = 450 + 2 = 202

Sn = (50/2)(6 + 202) = 25*208 = 5200

Сумма первых пятидесяти членов последовательности (Xn) равна 5200.

1. Для первых ста членов (n = 100): a1 = X1 = 6 an = X100 = 4*100 + 2 = 402

Sn = (100/2)(6 + 402) = 50*408 = 20400

Сумма первых ста членов последовательности (Xn) равна 20400.

1. Для первых n членов (n общего вида): a1 = X1 = 6 an = 4n + 2

Sn = (n/2)(6 + 4n + 2) = (n/2)(4n + 8) = 2n^2 + 4n

Таким образом, сумма первых n членов последовательности (Xn) равна 2n^2 + 4n.