Найдите сумму целых значений n, при которых число 3n-1/n+2 является натуральным

Для того чтобы число 3n-1/n+2 было натуральным, необходимо, чтобы оно было целым и положительным. Из этого условия можем составить неравенство: 3n - 1 > 0, откуда получаем, что n > 1/3. Также должно быть выполнено условие, что n+2 делит 3n-1 без остатка. Подставим n > 1/3 в это условие: сначала выразим n+2 через n: n+2 = n + 6/3 = (3n + 2)/3. Тогда 3n-1 должно быть кратно (3n+2)/3, то есть (3n-1)/(3n+2) = k, где k - целое число. Подставим n > 1/3 в это равенство и решим его методом подбора целых значений n. Получаем, что единственным решением является n = 2. Таким образом, сумма целых значений n, при которых число 3n-1/n+2 является натуральным, равна 2.

Чтобы решить эту задачу, нужно определить условия, при которых выражение (\frac{3n - 1}{n + 2}) является натуральным числом. Натуральные числа — это положительные целые числа.

Давайте обозначим (\frac{3n - 1}{n + 2} = k), где (k) — натуральное число. Тогда у нас получается уравнение:

[ 3n - 1 = k(n + 2) ]

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду:

[ 3n - 1 = kn + 2k ]

Перенесем все члены, содержащие (n), в одну сторону и свободные члены в другую:

[ 3n - kn = 2k + 1 ]

Вынесем (n) за скобки:

[ n(3 - k) = 2k + 1 ]

Отсюда получаем выражение для (n):

[ n = \frac{2k + 1}{3 - k} ]

Так как (n) должно быть целым числом, то выражение (\frac{2k + 1}{3 - k}) также должно быть целым. Это возможно, если (3 - k) является делителем числа (2k + 1).

Рассмотрим возможные значения (k), при которых знаменатель (3 - k) не равен нулю и делит числитель:

1. (k = 1):

   [ n = \frac{2 \cdot 1 + 1}{3 - 1} = \frac{3}{2} ]

   (n) не является целым числом.

2. (k = 2):

   [ n = \frac{2 \cdot 2 + 1}{3 - 2} = \frac{5}{1} = 5 ]

   (n = 5) — целое число.

3. (k = 3):

   [ n = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3 - 3} ]

   Знаменатель равен нулю, поэтому (k = 3) не подходит.

Таким образом, единственное значение (k), при котором (n) является целым числом, — это (k = 2), а соответствующее значение (n = 5).

Следовательно, сумма всех целых значений (n), при которых (\frac{3n - 1}{n + 2}) является натуральным числом, равна 5.

Сумма целых значений n равна 1.