Найдите сosα, если sinα=√7/4 и α принадлежит (π/2; π).

Для нахождения cos(α) воспользуемся тригонометрической формулой sin^2(α) + cos^2(α) = 1.

У нас уже известно, что sin(α) = √7/4. Подставим это значение в формулу:

(√7/4)^2 + cos^2(α) = 1 7/16 + cos^2(α) = 1 cos^2(α) = 1 - 7/16 cos^2(α) = 9/16 cos(α) = ±3/4

Так как α принадлежит интервалу (π/2; π), cos(α) будет отрицательным, поэтому cos(α) = -3/4.

cosα = -√3/2

Для того чтобы найти (\cos{\alpha}), зная (\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{7}}{4}) и что (\alpha) принадлежит интервалу ((\frac{\pi}{2}; \pi)), можно использовать основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1 ]

Подставим значение (\sin{\alpha}) в это уравнение:

[ \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 + \cos^2{\alpha} = 1 ]

Выполним возведение (\frac{\sqrt{7}}{4}) в квадрат:

[ \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2 = \frac{7}{16} ]

Теперь подставим это значение в основное тригонометрическое тождество:

[ \frac{7}{16} + \cos^2{\alpha} = 1 ]

Решим это уравнение относительно (\cos^2{\alpha}):

[ \cos^2{\alpha} = 1 - \frac{7}{16} ]

Приведем (1) к виду дроби с знаменателем (16):

[ 1 = \frac{16}{16} ]

Теперь найдем разницу:

[ \cos^2{\alpha} = \frac{16}{16} - \frac{7}{16} = \frac{9}{16} ]

Таким образом, (\cos^2{\alpha} = \frac{9}{16}). Чтобы найти (\cos{\alpha}), нужно извлечь квадратный корень из (\frac{9}{16}):

[ \cos{\alpha} = \pm \sqrt{\frac{9}{16}} = \pm \frac{3}{4} ]

Теперь нужно определить знак (\cos{\alpha}) на основании того, что (\alpha) принадлежит интервалу ((\frac{\pi}{2}; \pi)). В этом интервале угол (\alpha) находится во второй четверти, где синус положителен, а косинус отрицателен.

Следовательно, (\cos{\alpha}) должен быть отрицательным:

[ \cos{\alpha} = -\frac{3}{4} ]

Таким образом, при (\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{7}}{4}) и (\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right)), (\cos{\alpha}) равен:

[ \cos{\alpha} = -\frac{3}{4} ]