Найдите решение уравнения cos x/2 = 1/2 на отрезке от [ 0; 4пи]

Уравнение (\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}) можно решить, используя основные свойства и формулы тригонометрии.

Известно, что косинус равен ( \frac{1}{2} ) при углах, равных ( \frac{\pi}{3} ) и ( \frac{5\pi}{3} ) (в радианах). Однако, поскольку у нас в уравнении стоит ( \frac{x}{2} ), нам нужно учесть это деление на 2.

Поскольку косинус является периодической функцией с периодом ( 2\pi ), уравнение (\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}) имеет решения каждые (2\pi) для ( \frac{x}{2} ). Возвращаясь к углам ( \frac{\pi}{3} ) и ( \frac{5\pi}{3} ), мы можем записать общее решение для ( \frac{x}{2} ) в виде:

[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k, ]

где (k) — целое число. Теперь умножим обе части каждого уравнения на 2, чтобы получить решения для (x):

[ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{10\pi}{3} + 4\pi k. ]

Теперь найдем все решения, которые попадают в заданный интервал ( [0; 4\pi] ).

1. Подставляя ( k = 0 ) в первое уравнение: [ x = \frac{2\pi}{3}. ]

2. Подставляя ( k = 1 ) в первое уравнение: [ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}. ]

3. Подставляя ( k = 0 ) в второе уравнение: [ x = \frac{10\pi}{3}. ]

4. Подставляя ( k = 1 ) в второе уравнение дает нам значение за пределами интервала.

Теперь проверим, какие из найденных значений лежат в интервале ([0; 4\pi]), т.е. ([0; 12.57]). Все значения ( \frac{2\pi}{3} \approx 2.09), ( \frac{10\pi}{3} \approx 10.47 ) и ( \frac{14\pi}{3} \approx 14.66 ). Значение ( \frac{14\pi}{3} ) выходит за пределы интервала.

Итак, решениями уравнения (\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}) на отрезке ([0; 4\pi]) являются: [ x = \frac{2\pi}{3}, \quad x = \frac{10\pi}{3}. ]

Для решения уравнения cos(x/2) = 1/2 на отрезке [0, 4π] нужно использовать тригонометрические тождества и свойства косинуса.

Сначала найдем общее решение уравнения cos(x/2) = 1/2. Для этого используем тождество косинуса двойного угла: cos(2α) = 2cos^2(α) - 1. Заменим α на x/2: cos(x) = 2cos^2(x/2) - 1. Решим это уравнение относительно cos(x/2): 2cos^2(x/2) - 1 = 1/2. Перенесем 1 на другую сторону: 2cos^2(x/2) = 1 + 1/2 = 3/2. Разделим обе стороны на 2: cos^2(x/2) = 3/4. Извлечем корень: cos(x/2) = ±√3/2.

Теперь найдем все значения x/2 на отрезке [0, 4π], для которых cos(x/2) = ±√3/2. Так как cos(π/6) = √3/2, то у нас есть два решения: x/2 = π/6 и x/2 = 11π/6. Также учтем, что cos(5π/6) = -√3/2, поэтому x/2 = 5π/6 и x/2 = 7π/6 также являются решениями уравнения.

Итак, решениями уравнения cos(x/2) = 1/2 на отрезке [0, 4π] являются x = π/3, 5π/3, 5π/3 и 7π/3.

x = пи/3, 5пи/3