Найдите промежутки возрастания и убывания, наименьшее значение функции y=x2-4x-5 ОЧЕНЬ СРОЧНО

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции y = x^2 - 4x - 5, нужно вычислить производную данной функции. Для этого возьмем производную от функции y по переменной x:

y' = 2x - 4.

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:

2x - 4 = 0, 2x = 4, x = 2.

Таким образом, точка экстремума функции находится в точке x = 2. Чтобы определить характер экстремума (то есть найти минимум или максимум), можно воспользоваться второй производной:

y'' = 2.

Так как вторая производная положительна, то точка экстремума является точкой минимума функции.

Итак, минимальное значение функции y = x^2 - 4x - 5 достигается при x = 2 и равно:

y(2) = 2^2 - 4*2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9.

Таким образом, минимальное значение функции равно -9. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить, учитывая, что функция возрастает при x < 2 и убывает при x > 2.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции ( y = x^2 - 4x - 5 ), а также её наименьшее значение, следуем следующим шагам:

1. Найти первую производную функции: Первая производная функции ( y ) по переменной ( x ) показывает скорость изменения функции, то есть прирост функции относительно изменения ( x ). [ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x - 5) ] Используя стандартные правила дифференцирования: [ y' = 2x - 4 ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся там, где первая производная равна нулю или не определена. В данном случае первая производная равна нулю: [ 2x - 4 = 0 ] Решим это уравнение: [ 2x = 4 \implies x = 2 ]

3. Определить возрастание и убывание функции: Чтобы определить промежутки возрастания и убывания, исследуем знак первой производной ( y' ) по обе стороны от критической точки ( x = 2 ).

   Для ( x < 2 ), выберем точку ( x = 1 ): [ y'(1) = 2(1) - 4 = -2 \quad (\text{отрицательное значение}) ]

   Для ( x > 2 ), выберем точку ( x = 3 ): [ y'(3) = 2(3) - 4 = 2 \quad (\text{положительное значение}) ]

   Таким образом:

   • На промежутке ( (-\infty, 2) ) функция убывает, так как ( y' < 0 ).
   • На промежутке ( (2, +\infty) ) функция возрастает, так как ( y' > 0 ).

4. Найти наименьшее значение функции: Поскольку ( y = x^2 - 4x - 5 ) — это квадратичная функция с положительным коэффициентом при ( x^2 ), она имеет форму параболы, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

   Координата вершины параболы для функции вида ( y = ax^2 + bx + c ) находится по формуле: [ x{\text{вершина}} = -\frac{b}{2a} ] В данном случае ( a = 1 ), ( b = -4 ): [ x{\text{вершина}} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ]

   Подставим ( x = 2 ) в исходную функцию, чтобы найти значение в этой точке: [ y(2) = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 ]

   Таким образом, наименьшее значение функции ( y = x^2 - 4x - 5 ) равно ( -9 ) и достигается при ( x = 2 ).

Итог:

• Промежутки убывания: ( (-\infty, 2) ).
• Промежутки возрастания: ( (2, +\infty) ).
• Наименьшее значение функции: ( y = -9 ) при ( x = 2 ).