Найдите промежутки убывания функции y = 2x³ + 9x² - 24x

Для нахождения промежутков убывания функции y = 2x³ + 9x² - 24x необходимо найти точки экстремума данной функции. Для этого нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю:

y' = 6x² + 18x - 24

Приравниваем к нулю:

6x² + 18x - 24 = 0

Далее решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = 18² - 46(-24) = 324 + 576 = 900

x1,2 = (-18 ± √900) / 12 = (-18 ± 30) / 12

x1 = 12/12 = 1 x2 = -48/12 = -4

Теперь найдем значения функции в найденных точках и в крайних точках интервала (-∞; -4), (-4; 1), (1; +∞).

y(-∞) = +∞ y(-4) = 2(-4)³ + 9(-4)² - 24(-4) = -32 - 144 + 96 = -80 y(1) = 21³ + 91² - 241 = 2 + 9 - 24 = -13 y(+∞) = +∞

Таким образом, промежутки убывания функции y = 2x³ + 9x² - 24x: (-∞; -4) и (1; +∞).

Чтобы найти промежутки убывания функции ( y = 2x^3 + 9x^2 - 24x ), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции: Производная функции ( y ) даст нам скорость изменения функции, то есть, наклон касательной к графику функции в каждой точке. Для нахождения производной применим основные правила дифференцирования.

   Для функции ( y = 2x^3 + 9x^2 - 24x ):

   [ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 + 9x^2 - 24x) ]

   Используя правила дифференцирования для степенных функций, получаем:

   [ y' = 6x^2 + 18x - 24 ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся, когда производная функции равна нулю или не существует. Решим уравнение ( y' = 0 ).

   [ 6x^2 + 18x - 24 = 0 ]

   Чтобы упростить решение, можно разделить все члены уравнения на 6:

   [ x^2 + 3x - 4 = 0 ]

   Это квадратное уравнение можно решить разложением на множители:

   [ (x + 4)(x - 1) = 0 ]

   Таким образом, находим корни:

   [ x = -4 \quad \text{и} \quad x = 1 ]

   Эти точки являются критическими точками.

3. Определить знаки производной в интервалах между критическими точками: Чтобы определить, где функция убывает, нужно исследовать знак производной ( y' ) на промежутках, разделенных критическими точками ( x = -4 ) и ( x = 1 ).

   Рассмотрим интервалы:

   • ( (-\infty, -4) )
   • ( (-4, 1) )
   • ( (1, +\infty) )

   Выберем тестовые точки из каждого интервала, например, ( x = -5 ), ( x = 0 ), и ( x = 2 ).

   Подставим эти значения в производную ( y' = 6x^2 + 18x - 24 ).

   • Для ( x = -5 ):

     [ y'(-5) = 6(-5)^2 + 18(-5) - 24 = 6 \cdot 25 - 90 - 24 = 150 - 90 - 24 = 36 ]

     Положительный знак на интервале ( (-\infty, -4) ).

   • Для ( x = 0 ):

     [ y'(0) = 6(0)^2 + 18(0) - 24 = -24 ]

     Отрицательный знак на интервале ( (-4, 1) ).

   • Для ( x = 2 ):

     [ y'(2) = 6(2)^2 + 18(2) - 24 = 6 \cdot 4 + 36 - 24 = 24 + 36 - 24 = 36 ]

     Положительный знак на интервале ( (1, +\infty) ).

4. Определить интервалы убывания: Функция убывает там, где её производная отрицательна.

   • На интервале ( (-4, 1) ) производная ( y' ) отрицательна.

   Следовательно, функция ( y = 2x^3 + 9x^2 - 24x ) убывает на промежутке ( (-4, 1) ).

Таким образом, промежуток убывания функции ( y = 2x^3 + 9x^2 - 24x ) — это ( (-4, 1) ).

Чтобы найти промежутки убывания функции y = 2x³ + 9x² - 24x, необходимо найти производную функции, приравнять ее к нулю и найти ее корни. Далее используя тестовые точки в каждом интервале между корнями, определить знак производной и найти промежутки убывания функции.