Найдите производную функции y= x sin x

Чтобы найти производную функции ( y = x \sin x ), мы воспользуемся правилом произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть функция, представляющая собой произведение двух функций, то производная этой функции равна:

[ (uv)' = u'v + uv' ]

Для нашей функции ( y = x \sin x ), обозначим:

• ( u = x )
• ( v = \sin x )

Теперь найдем производные ( u ) и ( v ):

1. Производная ( u = x ): [ u' = \frac{d}{dx}(x) = 1 ]

2. Производная ( v = \sin x ): [ v' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ]

Теперь подставим эти производные в правило произведения:

[ y' = u'v + uv' ] [ y' = (1)(\sin x) + (x)(\cos x) ] [ y' = \sin x + x \cos x ]

Таким образом, производная функции ( y = x \sin x ) равна:

[ y' = \sin x + x \cos x ]

Этот результат показывает, что производная состоит из двух слагаемых: первое связано с производной от ( \sin x ), а второе — с производной от линейного члена ( x ), умноженного на ( \cos x ).

y' = sin x + x cos x

Для нахождения производной функции y = x sin x используем правило дифференцирования произведения функций.

По этому правилу производная произведения двух функций равна произведению первой функции на производную второй функции, плюс произведение второй функции на производную первой функции.

Дифференцируем функцию y = x по отдельности:

1. Производная x равна 1.
2. Производная sin x равна cos x.

Теперь подставляем результаты обратно в формулу: y' = x * cos x + sin x

Таким образом, производная функции y = x sin x равна x cos x + sin x.