Найдите производную функции y=(5x+1)^9 Нужно полное решение

Для нахождения производной функции y=(5x+1)^9 воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.

Для начала раскроем скобки, применив бином Ньютона: (5x+1)^9 = C(9,0)(5x)^91^0 + C(9,1)(5x)^81^1 + . + C(9,9)(5x)^01^9

где С(n,k) - число сочетаний из n по k.

Упростим выражение: (5x+1)^9 = 126(5^9)(x^9) + 504(5^8)(x^8) + . + 1

Теперь найдем производную: y' = d/dx[(5x+1)^9] = 1269(5^9)(x^8) + 5048(5^8)(x^7) + .

Упростим выражение: y' = 1134(5^9)(x^8) + 4032(5^8)(x^7) + .

Таким образом, производная функции y=(5x+1)^9 равна 1134(5^9)(x^8) + 4032(5^8)(x^7) + .

Для нахождения производной функции ( y = (5x+1)^9 ) применим правило дифференцирования сложных функций, также известное как правило цепочки. Правило цепочки гласит, что если у нас есть композитная функция ( y = f(g(x)) ), то её производная выражается как:

[ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) ]

В данном случае функция ( y = (5x+1)^9 ) состоит из внешней функции ( f(u) = u^9 ), где ( u = g(x) = 5x + 1 ).

1. Найдём производную внешней функции ( f(u) = u^9 ):

   Производная ( f'(u) ) равна ( 9u^8 ), согласно правилу дифференцирования степенной функции ( (u^n)' = nu^{n-1} ).

2. Найдём производную внутренней функции ( g(x) = 5x + 1 ):

   Производная ( g'(x) ) равна ( 5 ), так как производная линейной функции ( 5x + 1 ) равна коэффициенту при ( x ), то есть ( 5 ).

3. Применяем правило цепочки:

   Подставим найденные производные в формулу:

   [ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 9(5x+1)^8 \cdot 5 ]

4. Упростим выражение:

   [ \frac{dy}{dx} = 45(5x+1)^8 ]

Таким образом, производная функции ( y = (5x+1)^9 ) равна ( \frac{dy}{dx} = 45(5x+1)^8 ).