Найдите производную функции x^-4/5

Производная функции x^-4/5 равна -4/5 * x^(-9/5)

Для нахождения производной функции ( f(x) = x^{-4/5} ), мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции. Это правило гласит, что если ( f(x) = x^n ), где ( n ) — любое действительное число, то производная ( f'(x) ) равна ( nx^{n-1} ).

Вот шаги для нахождения производной данной функции:

1. Определение функции: ( f(x) = x^{-4/5} )

2. Применение правила дифференцирования степенной функции: Согласно правилу, если ( f(x) = x^n ), то ( f'(x) = nx^{n-1} ). В нашем случае ( n = -4/5 ).

3. Подстановка значения ( n ) в правило: [ f'(x) = \left( -\frac{4}{5} \right) x^{\left( -\frac{4}{5} - 1 \right)} ]

4. Упрощение выражения в показателе степени: [ -\frac{4}{5} - 1 = -\frac{4}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{9}{5} ]

   Следовательно, [ f'(x) = -\frac{4}{5} x^{-\frac{9}{5}} ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = x^{-4/5} ) равна: [ f'(x) = -\frac{4}{5} x^{-\frac{9}{5}} ]

Теперь давайте проверим, что мы все сделали правильно, и еще раз обобщим процесс:

1. Функция ( f(x) = x^{-4/5} ) имеет вид степенной функции.
2. Применяем правило дифференцирования: ( f'(x) = nx^{n-1} ), где ( n = -4/5 ).
3. Подставляем значение ( n ) и упрощаем показатель степени: ( -\frac{4}{5} - 1 = -\frac{9}{5} ).
4. Получаем производную: ( f'(x) = -\frac{4}{5} x^{-\frac{9}{5}} ).

Для проверки можно воспользоваться альтернативными методами, например, подставив конкретные значения ( x ) и проверив численно, что производная соответствует изменению функции. Но в данном случае, следуя стандартным правилам дифференцирования, мы получили правильный результат.

Для того чтобы найти производную функции f(x) = x^(-4/5), мы можем воспользоваться правилом дифференцирования степенной функции.

Сначала перепишем функцию в виде f(x) = x^(-4/5) = 1/x^(4/5). Теперь применим правило дифференцирования степенной функции: если f(x) = x^n, то f'(x) = nx^(n-1).

Применяя это правило к нашей функции f(x) = 1/x^(4/5), получаем f'(x) = -4/5 x^(-4/5 - 1) = -4/5 x^(-9/5) = -4/5x^(-9/5).

Таким образом, производная функции f(x) = x^(-4/5) равна -4/5x^(-9/5).