Найдите производную функции: f(x) = x^4 + tg2x

Для нахождения производной функции f(x) = x^4 + tg(2x) мы можем воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции.

Сначала найдем производную от первого слагаемого f(x) = x^4. Производная от x^n, где n - натуральное число, равна nx^(n-1). Следовательно, производная от x^4 будет равна 4x^(4-1) = 4*x^3.

Теперь найдем производную от второго слагаемого f(x) = tg(2x). Производная от тангенса равна sec^2(x), где sec(x) - секанс. Таким образом, производная от tg(2x) будет равна sec^2(2x) * 2.

Итак, производная функции f(x) = x^4 + tg(2x) будет равна сумме производных ее слагаемых: f'(x) = 4x^3 + 2sec^2(2x).

f'(x) = 4x^3 + 2sec^2(2x)

Чтобы найти производную функции ( f(x) = x^4 + \tan(2x) ), мы будем использовать правило дифференцирования суммы функций и применим стандартные правила дифференцирования для степенной функции и тангенса.

1. Производная степенной функции:

   Формула для производной функции вида ( x^n ) равна ( nx^{n-1} ).

   Применяя это правило к ( x^4 ), получаем: [ \frac{d}{dx}(x^4) = 4x^{3} ]

2. Производная тангенса:

   Производная функции ( \tan(u) ), где ( u ) — функция от ( x ), равна ( \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx} ).

   В нашем случае ( u = 2x ), поэтому сначала найдем производную внутренней функции: [ \frac{d}{dx}(2x) = 2 ]

   Теперь применим правило для производной тангенса: [ \frac{d}{dx}(\tan(2x)) = \sec^2(2x) \cdot 2 ]

3. Сложение производных:

   Теперь сложим результаты, чтобы получить полную производную функции ( f(x) ): [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4) + \frac{d}{dx}(\tan(2x)) = 4x^3 + 2\sec^2(2x) ]

Таким образом, производная функции ( f(x) = x^4 + \tan(2x) ) равна: [ f'(x) = 4x^3 + 2\sec^2(2x) ]