Найдите производную функции f(x)=(x^2-1)/(x^2+1)

f'(x) = (2x(x^2 + 1) - (x^2 - 1)2x)/(x^2 + 1)^2 = (2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x)/(x^2 + 1)^2 = 4x/(x^2 + 1)^2

Для нахождения производной функции ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} ) воспользуемся правилом дифференцирования частного двух функций.

Сначала вычислим производную числителя и знаменателя по отдельности: ( (x^2 - 1)' = 2x ) (производная квадратичной функции) ( (x^2 + 1)' = 2x ) (производная квадратичной функции)

Теперь применим правило дифференцирования частного: ( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} )

Подставляем полученные производные числителя и знаменателя: ( f'(x) = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} ) ( f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} ) ( f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} )

Таким образом, производная функции ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} ) равна ( f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} ).

Чтобы найти производную функции ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} ), используем правило дифференцирования для частного двух функций. Пусть:

[ u(x) = x^2 - 1 ] [ v(x) = x^2 + 1 ]

Производная функции ( f(x) ) по правилу частного, которое гласит:

[ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} ]

Сначала находим производные ( u(x) ) и ( v(x) ):

[ u(x) = x^2 - 1 ] [ u'(x) = 2x ]

[ v(x) = x^2 + 1 ] [ v'(x) = 2x ]

Теперь подставляем найденные производные в формулу для производной частного:

[ f'(x) = \frac{(x^2 - 1)'(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} ]

Расписываем и подставляем значения:

[ f'(x) = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} ]

Раскрываем скобки в числителе:

[ f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} ]

[ f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2} ]

Собираем подобные члены:

[ f'(x) = \frac{2x + 2x}{(x^2 + 1)^2} ]

[ f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} ]

Итак, производная функции ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} ) равна:

[ f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} ]