Найдите производную функции (1-3x)^4

Для нахождения производной функции (1-3x)^4 необходимо применить правило дифференцирования сложной функции.

Сначала нужно возвести (1-3x) в степень 4, что даст (1-3x)^4 = 1 - 12x + 54x^2 - 108x^3 + 81x^4.

Затем мы можем найти производную этой функции, применяя правило дифференцирования сложной функции. Для этого нужно умножить степень на коэффициент при переменной и уменьшить степень на 1. Таким образом, производная функции (1-3x)^4 равна -12 + 108x - 324x^2 + 324x^3.

Для нахождения производной функции ( (1 - 3x)^4 ) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, также известным как правило цепочки.

Правило цепочки гласит, что если у нас есть сложная функция вида ( f(g(x)) ), то её производная равна ( f'(g(x)) \cdot g'(x) ).

В нашем случае функция ( (1 - 3x)^4 ) является сложной, и её можно представить как ( f(u) ), где ( u = 1 - 3x ) и ( f(u) = u^4 ).

Теперь найдем производные:

1. ( f(u) = u^4 ) Производная ( f(u) ) по ( u ) равна: [ f'(u) = 4u^3 ]

2. ( u = 1 - 3x ) Производная ( u ) по ( x ) равна: [ \frac{du}{dx} = -3 ]

Теперь применим правило цепочки. Производная функции ( (1 - 3x)^4 ) равна: [ \frac{d}{dx}[(1 - 3x)^4] = f'(u) \cdot \frac{du}{dx} ]

Подставим найденные производные: [ \frac{d}{dx}[(1 - 3x)^4] = 4(1 - 3x)^3 \cdot (-3) ]

Теперь упростим выражение: [ \frac{d}{dx}[(1 - 3x)^4] = -12(1 - 3x)^3 ]

Таким образом, производная функции ( (1 - 3x)^4 ) равна ( -12(1 - 3x)^3 ).