Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2+2, y=4+x

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми ( y = x^2 + 2 ) и ( y = 4 + x ), сначала нужно определить точки их пересечения. Это делается путем приравнивания уравнений функций:

[ x^2 + 2 = 4 + x ]

Решим это уравнение:

1. Перенесем все в одну сторону:

[ x^2 + 2 - 4 - x = 0 ]

[ x^2 - x - 2 = 0 ]

1. Разложим квадратное уравнение на множители:

[ (x - 2)(x + 1) = 0 ]

Отсюда получаем корни:

[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -1 ]

Теперь у нас есть точки пересечения: ( x = -1 ) и ( x = 2 ).

Далее, чтобы найти площадь между двумя кривыми, нужно вычислить определенный интеграл от разности этих функций на заданном отрезке:

[ A = \int_{-1}^{2} ((4 + x) - (x^2 + 2)) \, dx ]

Упростим подынтегральное выражение:

[ (4 + x) - (x^2 + 2) = -x^2 + x + 2 ]

Теперь вычислим интеграл:

[ A = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx ]

Разобьем это на отдельные интегралы:

[ A = \int{-1}^{2} -x^2 \, dx + \int{-1}^{2} x \, dx + \int_{-1}^{2} 2 \, dx ]

Вычислим каждый из них:

1. (\int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3} )

2. (\int x \, dx = \frac{x^2}{2} )

3. (\int 2 \, dx = 2x )

Теперь подставим пределы интегрирования для каждого:

[ A = \left[-\frac{x^3}{3}\right]{-1}^{2} + \left[\frac{x^2}{2}\right]{-1}^{2} + \left[2x\right]_{-1}^{2} ]

Вычислим каждый из этих выражений:

1. (\left[-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3}\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3}\right) = -\frac{8}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{7}{3})

2. (\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2} = \left(\frac{2^2}{2}\right) - \left(\frac{(-1)^2}{2}\right) = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2})

3. (\left[2x\right]_{-1}^{2} = (2 \times 2) - (2 \times -1) = 4 + 2 = 6)

Теперь сложим все части:

[ A = -\frac{7}{3} + \frac{3}{2} + 6 ]

Приведем к общему знаменателю, чтобы сложить дроби:

Общий знаменатель для (\frac{7}{3}) и (\frac{3}{2}) — 6:

[ -\frac{14}{6} + \frac{9}{6} + \frac{36}{6} = \frac{-14 + 9 + 36}{6} = \frac{31}{6} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными линиями, равна (\frac{31}{6}) квадратных единиц.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=x^2+2 и y=4+x, необходимо найти точку пересечения этих двух функций и проинтегрировать модуль разности между ними на заданном интервале.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо определить точки их пересечения и затем найти площадь между этими линиями.

Для начала найдем точки пересечения линий y=x^2+2 и y=4+x:

x^2+2 = 4+x x^2 - x - 2 = 0 (x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения: x = 2 и x = -1.

Теперь найдем соответствующие значения y для этих точек:

y = 2^2 + 2 = 6 (для x = 2) y = (-1)^2 + 2 = 3 (для x = -1)

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (2, 6) и (-1, 3).

Далее, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно найти интеграл функции, которая задает разность между этими двумя линиями. Интеграл будет выглядеть следующим образом:

∫[a, b] (4 + x - (x^2 + 2)) dx

Где a и b - x-координаты точек пересечения, то есть -1 и 2.

После нахождения интеграла и его вычисления, мы получим значение площади фигуры, ограниченной данными линиями.