Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2 - 2x + 2, y=2 + 6x - x^2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными кривыми, нужно сначала найти точки пересечения кривых. Рассмотрим уравнения:

1. ( y = x^2 - 2x + 2 )
2. ( y = 2 + 6x - x^2 )

Приравняем правые части уравнений:

[ x^2 - 2x + 2 = 2 + 6x - x^2 ]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

[ 2x^2 - 8x = 0 ]

Вынесем общий множитель:

[ 2x(x - 4) = 0 ]

Отсюда находим два корня: ( x = 0 ) и ( x = 4 ). Это точки пересечения графиков.

Так как нам нужно найти площадь фигуры между кривыми, мы должны определить, какая из функций находится выше на интервале от 0 до 4. Подставим среднее значение из интервала, например, ( x = 2 ), в оба уравнения:

[ y_1 = 2^2 - 4 + 2 = 2 ] [ y_2 = 2 + 12 - 4 = 10 ]

Из этого видно, что на отрезке от 0 до 4, функция ( y = 2 + 6x - x^2 ) находится выше функции ( y = x^2 - 2x + 2 ).

Теперь найдем площадь между кривыми, интегрируя разность функций на интервале от 0 до 4:

[ S = \int_0^4 [(2 + 6x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)] \, dx ]

Раскроем скобки и объединим подобные члены:

[ S = \int_0^4 [8x - 2x^2] \, dx ]

Рассчитаем интеграл:

[ S = \int_0^4 8x \, dx - \int_0^4 2x^2 \, dx ] [ S = \left[4x^2 \right]_0^4 - \left[\frac{2}{3}x^3 \right]_0^4 ] [ S = \left[4 \cdot 16 - 0 \right] - \left[\frac{2}{3} \cdot 64 - 0 \right] ] [ S = 64 - \frac{128}{3} ] [ S = 64 - \frac{128}{3} = \frac{192 - 128}{3} = \frac{64}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна ( \frac{64}{3} ) квадратных единиц.

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя данными функциями, нужно сначала найти точки их пересечения. Для этого приравняем два уравнения между собой:

x^2 - 2x + 2 = 2 + 6x - x^2

После преобразований получим:

2x^2 - 8x = 0

x(2x - 8) = 0

x(x - 4) = 0

Отсюда получаем, что x = 0 или x = 4.

Подставляем найденные значения x в одно из уравнений и находим соответствующие значения y:

y = 2 + 6*0 - 0^2 = 2 (для x = 0)

y = 2 + 6*4 - 4^2 = 2 + 24 - 16 = 10 (для x = 4)

Теперь найдем интеграл от разности данных функций на отрезке [0, 4]:

∫[0,4] (2 + 6x - x^2 - (x^2 - 2x + 2)) dx

∫[0,4] (8x - 4) dx

[4x^2/2 - 4x] [0,4]

(84/2 - 44) - (0 - 0) = 16

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными функциями, равна 16.