Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 y=0 x=-3

Для нахождения площади фигуры, ограниченной указанными линиями, прежде всего следует понять, каковы границы интегрирования и какие функции описывают границы фигуры.

1. Определение границ фигуры:
   • ( y = x^2 ) – парабола, открывающаяся вверх.
   • ( y = 0 ) – это ось x.
   • ( x = -3 ) – вертикальная линия, перпендикулярная оси x.

Фигура замкнута между ( x = -3 ) и ( x = 0 ) (точка, где парабола пересекает ось x), и между ( y = x^2 ) и ( y = 0 ).

1. Интегрирование для нахождения площади: Площадь фигуры можно найти с помощью определенного интеграла от функции ( y = x^2 ) от ( x = -3 ) до ( x = 0 ).

   [ \text{Площадь} = \int_{-3}^{0} x^2 \, dx ]

2. Вычисление интеграла: Интеграл от ( x^2 ) равен ( \frac{x^3}{3} ). Теперь подставим пределы интегрирования:

   [ \int{-3}^{0} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]{-3}^{0} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = 0 + \frac{-27}{3} = -9 ]

   Так как мы ищем площадь (всегда положительная величина), берем абсолютное значение результата:

   [ \text{Площадь} = |-9| = 9 \text{ квадратных единиц} ]

Итак, площадь данной фигуры равна 9 квадратным единицам.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и вычислить интеграл от функции, ограничивающей фигуру, в пределах этих точек.

Сначала найдем точки пересечения линий y=x^2 и y=0:

1. Подставляем y=0 в уравнение y=x^2: 0=x^2, откуда получаем x=0.
2. Подставляем x=-3 в уравнение y=x^2: y=(-3)^2, y=9.

Таким образом, точки пересечения линий x=0 и x=-3 являются границами фигуры.

Теперь вычислим интеграл от y=x^2 в пределах от x=-3 до x=0: ∫[0,9] x^2 dx = [x^3/3] от -3 до 0 = (0^3/3) - ((-3)^3/3) = 9.

Полученное значение 9 будет площадью фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=0 и x=-3.