Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=5/x и y=6-x

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=5/x и y=6-x, необходимо найти точки их пересечения, затем построить график и вычислить площадь под кривыми.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{5}{x} ) и ( y = 6 - x ), нужно сначала определить точки пересечения этих кривых. Для этого решим систему уравнений:

[ \frac{5}{x} = 6 - x. ]

Умножим обе стороны уравнения на ( x ) (при условии, что ( x \neq 0 )):

[ 5 = x(6 - x). ]

Это уравнение можно переписать в виде квадратичного уравнения:

[ x^2 - 6x + 5 = 0. ]

Решим это квадратичное уравнение с помощью формулы корней:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ]

где ( a = 1 ), ( b = -6 ) и ( c = 5 ):

[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}. ]

Получаем два корня:

[ x = \frac{6 + 4}{2} = 5 \quad \text{и} \quad x = \frac{6 - 4}{2} = 1. ]

Таким образом, точки пересечения кривых ( y = \frac{5}{x} ) и ( y = 6 - x ) находятся при ( x = 1 ) и ( x = 5 ).

Теперь нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми на интервале ( x ) от 1 до 5. Для этого интегрируем разность функций ( y = 6 - x ) и ( y = \frac{5}{x} ) по ( x ) от 1 до 5:

[ \text{Площадь} = \int_{1}^{5} \left( (6 - x) - \frac{5}{x} \right) \, dx. ]

Выполним вычисление интеграла:

[ \int_{1}^{5} (6 - x - \frac{5}{x}) \, dx. ]

Разделим интеграл на три части:

[ \int{1}^{5} 6 \, dx - \int{1}^{5} x \, dx - \int_{1}^{5} \frac{5}{x} \, dx. ]

Вычислим каждый интеграл отдельно.

1. (\int{1}^{5} 6 \, dx = 6 \int{1}^{5} 1 \, dx = 6 [x]_{1}^{5} = 6 (5 - 1) = 24.)

2. (\int{1}^{5} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]{1}^{5} = \frac{5^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{25}{2} - \frac{1}{2} = \frac{24}{2} = 12.)

3. (\int{1}^{5} \frac{5}{x} \, dx = 5 \int{1}^{5} \frac{1}{x} \, dx = 5 [\ln |x|]_{1}^{5} = 5 (\ln 5 - \ln 1) = 5 \ln 5.)

Теперь сложим результаты:

[ \text{Площадь} = 24 - 12 - 5 \ln 5 = 12 - 5 \ln 5. ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = \frac{5}{x} ) и ( y = 6 - x ), равна ( 12 - 5 \ln 5 ).

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=5/x и y=6-x, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравниваем уравнения:

5/x = 6 - x

5 = 6x - x^2

x^2 - 6x + 5 = 0

(x-5)(x-1) = 0

x = 5 или x = 1

Таким образом, точки пересечения линий будут (1, 5) и (5, 1).

Далее находим площадь фигуры, используя интеграл:

S = ∫[1, 5] (6 - x) - 5/x dx

S = [6x - (x^2)/2] - 5ln|x| |[1, 5]

S = (30 - 12.5) + 5ln(5) - (6 - 0.5) - 5ln(1)

S = 17.5 + 5ln(5) - 5.5

S = 12 + 5ln(5)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=5/x и y=6-x, равна 12 + 5ln(5) (приблизительно 20.97).